Symplektische Reduktion auf den Modulraum in der Chern-Simons-Theorie

Sie können die symplektische Form auf dem großen Phasenraum schreiben als

Hier$\langle, \rangle$ist die Tötungsform an$\mathfrak{g}$, bei dem die$\delta_j A$werden geschätzt. Diese Formel wird abgeleitet, indem das Variationsproblem der Chern-Simons-Wirkung auf einer 3-Mannigfaltigkeit mit Rand untersucht wird$\Sigma$. Es wird hier in einer strengen Formulierung (pdf) in Abschnitt 4.2 diskutiert. Sie diskutieren auch die Hamiltonsche Reduktion auf den endlichdimensionalen Phasenraum. Die Idee ist, dass dieser kleine Phasenraum a ist$G$-Quotient einer Ebenenmenge der Momentkarte

Bearbeiten: Wenn wir den Modulraum flacher Verbindungen auf einem Torus untersuchen, können wir uns dies wie gewünscht als ein Paar pendelnder Elemente vorstellen$g_1, g_2 \in G$bis zur simultanen Konjugation definiert$(g_1,g_2) \mapsto (hg_1h^{-1},hg_2h^{-1})$. Dies ist ein Subquotient von$G \times G/G$, sondern der Quotient$G$handelt durch Konjugation, also ist es nicht dasselbe wie$G$, zum Beispiel mit$G = U(1)$es ist$U(1) \times U(1)$.

Wir können schreiben$g_j = \exp(2\pi i t_j)$und das Anschlussformular$A = t_1 dx_1 + t_2 dx_2$, Wo$x_1,x_2$Sind$2\pi$periodische Koordinaten auf dem Torus. Hier entlang,$\exp i \int_{j} A = g_j$Und$dA + [A,A] = 0$.

Der Tangentialraum bei$A$ist bei allen 1-Formen gegeben$\delta A$so dass$A + \epsilon\delta A$ist flach zu bestellen$\epsilon^2$. Das heisst$d\delta A + [A,\delta A] = 0$. Sie können diese Gleichung mit den Strukturkonstanten der Lie-Algebra lösen. Dann wird die symplektische Form als ausgewertet$\Omega$oben mit$\Sigma = T^2$.

Zum Beispiel ist der Tangentialraum an den Nullabschnitten nur der geschlossene Raum$\mathfrak{g}$-bewertete 1-Formulare, und wir verwenden das Killing-Formular zum Bewerten$\Omega$.

Diese Frage hat viele Unterfragen. Ich werde versuchen, Ihnen kurze Erklärungen und gute Referenzen zu geben.

Wie man eine symplektische Reduktion in der "Quantenmechanik" durchführt

Die symplektische Reduktion ist grundsätzlich äquivalent zu Diracs Zwangsbedingungen erster Klasse, dh der Reduktion der Eichsymmetrie. Das in der QFT verwendete Prototypmodell, das durch symplektische Reduktion erhalten wird, ist das$CP^{N}$Modell, das eine symplektische Reduktion von ist$C^{N+1}$von$U(1)$:

Wir gehen von aus$N+1$Skalare Felder$\phi_i$mit seinem Standard-Lagrange. (Alles kann in ausgeführt werden$0+1$Raum-Zeit-Dimensionen also Quantenmechanik, aber das ist nicht zwingend, wir können in jeder Dimension arbeiten). Dieses Modell hat$U(N)$globale Symmetrie. Wenn wir die reduzieren wollen$U(1)$Symmetrie$\phi_i \rightarrow e^{i\theta} \phi_i$, führen wir zwei Operationen durch:

• Zunächst koppeln wir das Modell minimal an ein nicht-dynamisches Eichfeld$A_{\mu}$.

• Zweitens beobachten wir, dass die Noether-Ladung dieser Symmetrie entspricht$\phi_i \phi_i$(Einsteins Konvention - dies ist das Analogon des Gaußschen Gesetzes in der Elektrodynamik). Diese Ladung muss eine Konstante sein. Daher fügen wir der Lagrange-Funktion einen Einschränkungsterm hinzu:$\lambda(\phi_i \phi_i-\mathrm{const.})$.

Jetzt lösen wir die klassischen Bewegungsgleichungen für das Eichfeld und die Noether-Ladungsbeschränkung und ersetzen die Lösungen und voilà, wir bekommen die$CP^N$Sigma-Modell.

Siehe BKMU , (Abschnitt 5.1.) für die explizite Konstruktion. Die Lösung des Eichfelds entfernt einen reellen Parameter und die Beschränkung entfernt einen zusätzlichen reellen Parameter, wodurch der resultierende Modellzielraum eine komplexe Dimension weniger ist.

Wie man eine symplektische Reduktion durchführt und die 2+1 D Chern Simons Theorie quantisiert

In der Abelschen Chern-Simons-Theorie (in der Hamiltonschen Form mit$A_0 = 0$). Die Anzahl der Freiheitsgrade vor der Reduktion ist$2$, ($A_1$Und$A_2$) und wie oben entfernt die Reduktion zwei reale Freiheitsgrade, also bleiben uns null Freiheitsgrade und das bedeutet, dass, obwohl wir mit einem feldtheoretischen Modell begonnen haben, das Restmodell höchstens quantenmechanisch sein kann (in$0+1$Maße). Anders gesagt, der Modulraum ist endlichdimensional. Daher funktioniert die obige Methode nicht direkt. Die gleiche Argumentation gilt auch für den nicht-Abelschen Fall.

Was wir tun können, ist, die allgemeinste klassische Lösung durch die verbleibenden quantenmechanischen Freiheitsgrade (dh den Modulraum) zu ersetzen, die mit den Randbedingungen kompatibel sind. Alle anderen Freiheitsgrade außer dem Modulraum verschwinden aufgrund der Eichsymmetrie (und des Gaußschen Gesetzes) aus der Wirkung und wir erreichen ein quantenmechanisches Modell.

Genau dies wurde von EMSS durchgeführt , die viele exakte Lösungen der Chern-Simons-Theorie mit und ohne Quellen erhielten, insbesondere den Phasenraum und den resultierenden Hilbert-Raum identifizierten. Bitte sehen Sie sich andere äquivalente Methoden Bos und Nair und Dunne an .

Über den Ursprung der Quantengruppensymmetrie

Die endlichdimensionalen Modulräume, die sich aus der symplektischen Reduktion der Chern-Simons-Theorie ergeben, sind symplektisch. (In einer endlichen Anzahl von Dimensionen wurde von Marsden und Weinstein bewiesen, dass eine symplektische Reduktion einer symplektischen Mannigfaltigkeit zu einem symplektischen Raum führt. In unserem Fall wo der Anfangsraum unendlichdimensional ist (Chern-Simons), gibt es kein solches allgemeines Ergebnis, aber es kann von Fall zu Fall bewiesen werden). Die symplektische Form der reduzierten Theorie kann als Magnetfeld betrachtet werden (geschlossen, aber nicht exakt$2-$form).

Es ist ein allgemeines Ergebnis, dass die reduzierte quantenmechanische Theorie der Chern-Simons-Theorie immer die auf das unterste Landau-Niveau beschränkte Dynamik eines nichtrelativistischen Teilchens auf dem Modulraum in Anwesenheit eines Magnetfeldes gleich beschreibt$k$(die Ebene) multipliziert mit einer grundlegenden symplektischen Struktur (Generator von$H^2(M, \mathbb{Z})$) des Modulraums.

Die Quantengruppensymmetrie ist die Algebra, die von den endlichen magnetischen Translationsoperatoren erfüllt wird und die Form hat:

Bitte lesen Sie den folgenden Artikel von Sato mit einer kurzen Erklärung dieser Tatsache.

Die Lösung der Theorie über den Modulraum, also für das vollständige Chern-Simons-Modell, wird durch eine Darstellung der Quantengruppe gegeben. Insbesondere legt es die Dimension des Hilber-Raums der Theorie fest.