Warum kann die Allgemeine Relativitätstheorie nicht in Bezug auf physikalische Variablen geschrieben werden?

Wigner beschwerte sich immer über Leute, die das Wort „invariant“ verwendeten (dies war natürlich im Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie): Er sagte, man sollte sagen, dass das Relativitätsprinzip „Kovarianz“ erfordert, nicht Invarianz. Einsteins eigene Arbeiten über GR neigen dazu, Wigners Forderung auszuführen: Die Theorie der GR (die allgemeiner ist als Einsteins Gravitationstheorie oder seine Feldgleichungen) wird immer als Forderung nach Kovarianz in Bezug auf willkürliche Koordinatenänderungen ausgedrückt. Ein weiterer Mythos ist meiner Meinung nach, dass die Relativitätstheorie erfordert, dass die Gesetze von der Gruppe in andere Gesetze „gleicher Form“ umgewandelt werden. Das ist nur Gerede, bis Sie definieren, was Sie mit „Form“ meinen, und schlimmer noch, es wäre dann nur Linguistik statt Physik. Betrachtet man Einsteins Praxis in dieser Angelegenheit, und seinen gelegentlichen expliziten Äußerungen sagt GR wirklich: Die Gesetze der Physik müssen die Form annehmen, einen Tensor mit Null gleichzusetzen. Das funktioniert, weil der Tensor bei Koordinatenänderung die gleichen Kovarianzeigenschaften hat wie Null.

Damit hat die Forderung nach Kovarianz nichts zu tun$f^* g$zum$f$ein Diffeomorphismus und$g$ein Tensorfeld. Das kann man auch anders sehen: Für Einstein$M$ist nicht körperlich, es ist$g$das ist körperlich. Somit$f$ist als Koordinatenänderung anzusehen, die die mathematischen Punkte nicht wirklich verschiebt$M$. Die Formel, die Mathematiker für verwenden$f^*g$muss als kommend uminterpretiert werden$f$als Übergangsfunktion zwischen zwei Diagrammen von$M$um einen bestimmten Punkt$x$, dh qua Diffeomeorphismus ist es die Identität. Lassen Sie es mich anders ausdrücken: Eine Änderung der Koordinaten verschiebt nicht die Punkte, sondern ändert nur die Diagramme. Daher ist eine Koordinatenänderung die triviale Identitätskarte, wenn man sie in den invarianten, koordinatenfreien Definitionen der Mathematiker betrachtet$M$,$f$,$f^*$, und Tensoren.

Und jetzt lassen Sie mich das auf eine dritte Art und Weise ausdrücken, indem ich es mit Wigners Standpunkt in der Speziellen Relativitätstheorie verbinde: Was GR erfordert, ist das$g_{\mu\nu}$kovariant sein, und in Ihrem Setup ist dies die Voraussetzung dafür$f^* g$sogar gut definiert sein . Dies ist erforderlich, um eine Gruppenaktion von diff($M$) auf der Menge der metrischen Tensoren und ist die strenge Analogie zu Wigners Forderung, dass man mit einer Darstellung der Lorentz-Gruppe arbeiten muss. Kovarianz bedeutet, dass die Gruppenaktion definiert ist, nicht dass sie trival ist.

Das ist ein Grund, warum diff($M$) ist keine gute Analogie zu den Eichtransformationen von EM oder Weyls Theorie. Aber es gibt noch etwas anderes: In EM ist die Beziehung zwischen dem Potenzial und dem Feld eine Sache, aber die Beziehung zwischen$g_{\mu\nu}$und die Christoffel-Symbole (die affine Verbindung) sind etwas ganz anderes. Ja, mathematisch haben die beiden Beziehungen etwas Ähnliches, aber vom Standpunkt der beteiligten Symmetrien gibt es einen entscheidenden Unterschied: Das metrische Feld ist kovariant (ein Tensor), aber die Christoffel-Symbole sind es nicht, während sich die Felder in EM gut unter dem Lorentz transformieren Gruppe auch. Daher muss nach der Philosophie von GR das metrische Tensorfeld als physikalischer angesehen werden als die Christoffel-Symbole, obwohl alle, und auch Einstein, die Metrik das „Gravitationspotential“ und die Christoffel-Symbole das „Gravitationsfeld“ nennen. Diese angedeutete Analogie sollte einfach nicht zu ernst genommen werden, und tatsächlich schwankt Einstein selbst ständig zwischen dieser Terminologie und der scheinbar widersprüchlichen Bezeichnung des metrischen Tensorfeldes „das Gravitationsfeld,

Und es gibt noch etwas anderes: In EM können wir natürlich nur Potentialunterschiede messen, deshalb führen wir eine Auswahl an Eich- und Eichtransformationen ein. Aber ( TempoExtrempositivisten) können wir den metrischen Tensor im Prinzip mit Lichtstrahlen und Uhren und Wanderstäben messen, wie von Weyl und Einstein erklärt. (Natürlich nur, weil dies eine ideale klassische Welt ist, damit wir die Massen vernachlässigbar machen können ...). Einsteins Gleichungen sind irrelevant! Genauso wie in der Diskussion darüber, was eine Wahl des Eichmaßes und was eine Eichtransformation in EM ist, Maxwells Gleichungen irrelevant waren! Das heißt, die Definition oder das Konzept von Messgerät und Messgerättransformation sind sinnvoll, und man kann über ihre Physikalität und Erwünschtheit nachdenken, auch ohne die Maxwell-Gleichungen zu berücksichtigen. Und wenn man diesem Weg folgt, könnte man zunächst aus physikalischen Gründen entscheiden, was die Eichtransformationen sind, und dann nach dem Naturgesetz suchen, das in diesem Sinne eichinvariant ist.

Aber die Christoffel-Symbole, obwohl sie offensichtlich in gewissem Sinne gemessen werden können, da sie aus der Metrik berechnet werden können, sind nicht physikalisch, weil sie nicht kovariant sind. Zu viel Streit darüber, was „physikalisch“ bedeutet, wäre philosophisch, aber alles, worauf ich wirklich bestehen möchte, ist, dass für GR, wenn etwas nicht einmal kovariant ist, es nicht objektiv und „real“ ist, also zerstört dies die Analogie mit Messgeräten in EM ganz von alleine.

Nachdem ich nun diff($M$), ich stelle kurz fest, was jeder bereits weiß: Für jede Riemannsche oder Lorentzsche Mannigfaltigkeit gibt es eine Eichung, die das metrische Feld zu einem Tensor macht, dies wird von Weyl in seinem Buch erklärt, außer dass er es eine Kalibrierung nennt. Das beantwortet also Ihre Frage nach klassischem GR.

BEARBEITEN für den Kommentar des OP.

Das Prinzip der Allgemeinen Relativitätstheorie besagt, dass es keine natürliche Möglichkeit gibt, zwischen einem Satz von Koordinaten und einem anderen zu unterscheiden. Das ist der ganze Sinn von GR, seine Philosophie, wenn Sie so wollen. Es gibt kein physikalisches Kriterium, um zu sagen, dass ein Koordinatensystem besser als ein anderes ist.

Vielleicht wussten Sie das bereits, also lassen Sie uns Entscheidungen in Betracht ziehen, die keine physische Motivation oder Bedeutung haben, aber hübsch aussehen. ZB geodätische Koordinaten. Für alle$M$und jeder gegebene Punkt$p$Sie können lokale Koordinaten in einer kleinen Nachbarschaft definieren$x$in$M$die in dem Sinne geodätisch sind, dass sie den parallelen Transport entlang der Koordinatenachsen gut beschreiben. Aber sie haben keine globale Bedeutung, sie tun nichts für die ganze Kartoffel, nur für den einen Punkt$x$, denn sobald man etwas parallel transportiert, ist es eine endliche Distanz entfernt$x$, was Sie bekommen, hängt von dem Weg ab, den Sie genommen haben, um dorthin zu gelangen. Sie haben „lokale“ Bedeutung, nicht „globale“ Bedeutung, und der Grund für den Unterschied zwischen lokal und global ist die geometrische Tatsache der Nicht-Integrierbarkeit, die der gekrümmten Geometrie innewohnt$M$. Nur wenn$M$flach ist, ist die Situation „integrierbar“. Tatsächlich ist dies die Definition von Krümmung . Die Krümmung ist definiert als die Abweichung von der Integrierbarkeit dieses parallelen Transports, den Sie in einem geodätischen Koordinatensystem durchführen.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also: Es gibt im Großen und Ganzen kein Koordinatensystem mit schönen Eigenschaften, es sei denn$M$ist flach.

Sie sehen, die Frage wurde zwischen der Wahl eines Messgeräts und der Wahl eines Koordinatensystems verwechselt, das sind nicht die gleichen Dinge. Wenn diese Verwirrung geklärt wird, erhält sie zwei unterschiedliche Antworten: Wenn$M$ist pseudo-riemannisch, ja, es gibt eine Auswahl an Messgeräten, was bedeutet, dass die Metrik durch einen Tensor dargestellt werden kann, nicht durch einen verdrehten Tensor. Aber nein, es gibt kein Rezept für Koordinaten, die im Großen und Ganzen schöne Eigenschaften haben$M$ist flach.

Lassen Sie uns die Frage von OP (v1) wie folgt umformulieren.

Kann Allgemeine Relativitätstheorie in$d$große Raumzeitdimensionen nur in Bezug auf physikalische/propagierende Variablen geschrieben werden?

Das Beste, was man tun kann, scheint folgendes zu sein. Für schwache Gravitationsfelder kann man die gekrümmte Metrik schreiben

als Summe eines flachen Minkowski-Hintergrunds$\eta_{\mu\nu}$und ein Fluktuationsteil$h_{\mu\nu}$, die symmetrisch ist und daher enthält$\frac{d(d+1)}{2}$unabhängige Komponenten.

Verwenden Sie nun Lichtkegelkoordinaten für die flache Metrik$\eta_{\mu\nu}$. Der Fluktuationsteil$h_{\mu\nu}$teilt sich dann auf$2d$unphysikalische Hilfsvariablen (die eliminiert werden können) und$\frac{d(d-3)}{2}$physikalische Größen (=der spurlose transversale Anteil).

Bezug:

Barton Zwiebach, Ein erster Kurs in Stringtheorie, Abschnitt 10.6.

Wenn die Vorstellung, physikalisch zu sein, Eichinvarianz ist, dann ist der Ricci-Skalar in der Einstein-Hilbert-Aktion eine "physikalische" Variable, im gleichen Sinne wie$F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$~$(|E|^2-|B|^2)$und$F_{\mu \nu} \tilde{F}^{\mu \nu}$~$(E \cdot B)$sind die grundlegenden eichinvarianten Größen in reinen Yang-Mills-Theorien. Aber Einstein-Feldgleichungen werden nicht auf dieselbe Weise aus einer Invariante aufgebaut wie Yang-Mills-Feldgleichungen nicht aus ihren Invarianten aufgebaut werden. Dennoch bleiben diese Feldgleichungen bei Eichtransformationen der Felder unverändert, da der zusätzliche Beitrag ein totaler Ableitungsterm in der Lagrange-Funktion ist (es sei denn, die Mannigfaltigkeit hat eine Grenze, in diesem Fall muss ein Gibbons-Hawking-Term zur Lagrange-Funktion hinzugefügt werden). den zusätzlichen Beitrag auffangen)

Beachten Sie, dass$E$und$B$Felder selbst sind nicht eichinvariant, wie Ihre Frage vermuten lässt.

Ich bin mir nicht sicher, ob die Ricci-Krümmung die einzige fundamentale Invariante der Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist. Ist die Yamabe-Invariante fundamental? Wäre nett, wenn jemand eine Liste von (fundamentalen und abgeleiteten) Invarianten posten könnte.