Gibt es eine "Quadratwurzel"-Version der Einstein-Feldgleichung?

Es ist bekannt, dass die Klein-Gordon-Gleichung eine Art „Quadratwurzel“-Version hat: die Dirac-Gleichung .

Die Maxwell-Gleichungen können auch nach Dirac formuliert werden.

Es ist auch bekannt, dass die Metrik der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Art „Quadratwurzel“-Version hat: das Tetradenfeld (oder Vierbein ) von Komponenten e μ a ( x ) :

(1) g μ v ( x ) = η a b e μ a ( x ) e v b ( x ) .
Nun stellt sich natürlich die Frage, ob die vollständigen Einstein-Gleichungen:
(2) G μ v + Λ g μ v = − κ T μ v ,
könnte nur für das Tetradenfeld (oder andere Variablen?) als eine Art "Dirac-Version" davon umformuliert werden? Mit anderen Worten: Gibt es eine "Quadratwurzel"-Version von Gleichung (2)?

Ich wäre neugierig, die "Quadratwurzel" -Version der Friedmann-Lemaitre-Gleichungen in der Kosmologie zu sehen und welche Interpretation sie haben könnte.
@cham, da der Skalierungsfaktor a nur zeitabhängig ist (keine Ortsabhängigkeit), die Friedmann-Lemaitre-Gleichung ähnelt der 1-dimensionalen Klein-Gordon-Gleichung (mit Potentialtermen), und deren Quadratwurzel ist eine eindimensionale Dirac-Gleichung mit ψ abhängige potentielle Terme.
@MadMax, kannst du das als Antwort mathematisch formulieren?
@MadMax Der Skalierungsfaktor a ist nur rein zeitabhängig in sich bewegenden Koordinaten, die im Allgemeinen nicht mit dem orthonormalen Rahmen übereinstimmen, in dem Sie explizite Antworten berechnen.

Antworten (2)

  1. Da die Natur fermionische Materie hat, sind wir letztendlich gezwungen, die Metrik in GR in Form eines Vielbeins umzuschreiben (und eine Spin-Verbindung einzuführen). Siehe zB meine Physische Antwort hier . Die fermionische Materie gehorcht einer Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit. Dies würde jedoch nicht auf eine Quadratwurzel von EFE hinauslaufen .

  2. Es gibt supersymmetrische Erweiterungen von GR, wie z. B. SUGRA .

  3. Eine andere Idee ist, Theorien vom YM - Typ als Quadratwurzel von GR oder GR als doppelte Kopie von YM zu betrachten. Siehe zB die Ashtekar-Formulierung oder die KLT-Beziehungen .

Indem Sie die „Dirac-Quadratwurzel“ der Hamilton-Beschränkung für GR nehmen, landen Sie natürlich bei Supergravitation … also ist SUGRA in gewissem Sinne eine „Quadratwurzel“ von GR. Mehr dazu siehe:

  • Romualdo Tabensky, Claudio Teitelboim, „Die Quadratwurzel der Allgemeinen Relativitätstheorie“. Physics Letters B 69 Nr. 4 (1977) S. 453-456. Eprint
  • Claudio Teitelboim, "Supergravitation und Quadratwurzeln von Beschränkungen". Phys. Rev. Lett. 38 (1977) 1106. Eprint
Gibt es eine öffentliche Version dieser Papiere, die irgendwo verfügbar ist? Der Eprint von den obigen Links bittet um eine lästige kostenpflichtige kommerzielle Mitgliedschaft.
@Jemand siehe hier und hier .
@Jemand, wenn Sie mit Supergravitation nicht vertraut sind, ist Paulo Vargas Moniz 'Buch Quantum Cosmology - The Supersymmetric Perspective , Band 1, eine gute Rezension, in der die Beschränkungsstruktur von SUGRA erörtert wird und wie die Aufladung die "Quadratwurzel" der Hamilton-Einschränkung ist. Außerdem ist es eine gute Einführung in das Thema SUGRA im Allgemeinen.
@AlexNelson, ich bin mit Supersymmetrie nicht wirklich vertraut, obwohl ich ziemlich oft davon gehört habe. Ich bin überrascht, dass die "Quadratwurzel" von EFE tatsächlich Supersymmetrie ins Bild bringt. Es fühlt sich komisch an für mich.
@Someone Ja, aber es ist auch ziemlich seltsam, dass die "Quadratwurzel" des Skalars Ihnen Fermionen gibt. Die "Quadratwurzel" von Feldern ist nicht wirklich so intuitiv wie ... na ja, wie ich es gerne hätte. Da Sie mit SUSY nicht vertraut sind, würde ich Ihnen auf jeden Fall empfehlen, das Buch von Moniz zu lesen, um mehr über SUGRA zu erfahren.
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