Können wir eine logisch selbstkonsistente relativistische Gravitationstheorie konstruieren, indem wir einfach EM optimieren?

Question

Können wir eine logisch selbstkonsistente relativistische Gravitationstheorie konstruieren, indem wir einfach EM optimieren?

Parker

Diese Frage betrachtet eine Modifikation der klassischen E&M, bei der wir einfach das relative Vorzeichen in Maxwells Gleichungen umkehren und das " $q$ " im Lorentzkraftgesetz zu einem " $m$ ":

\partial_{μ} F^{μ v} = - J_{M}^{v}, (F_{ich})^{μ} = M_{ich} F_{v}^{μ} (X_{ich}) (U_{ich})^{v},

$\partial_\mu F^{\mu \nu} = -J_m^\nu, \qquad (F_i)^\mu = m_i F^\mu_{\ \ \ \nu}(x_i) (U_i)^\nu,$ bei dem die

i

$i$ 's im modifizierten Lorentzkraftgesetz indexieren die Quellteilchen.

J_{m}

$J_m$ wird nun eher als Massendichtestrom denn als Ladungsdichtestrom interpretiert.

Diese Theorie wird experimentell sicherlich vollständig ausgeschlossen, und wie einige der Antworten zeigen, ist es nicht eindeutig, wie masselose Teilchen behandelt werden sollten, da die relativistische Version von Newtons zweitem Gesetz nicht wirklich für masselose Teilchen gilt.

Das OP stellt die eher vage Frage "Was an diesem Ansatz zur Gravitation funktioniert nicht?", Daher gehen die Antworten in viele verschiedene Richtungen, von denen meiner Meinung nach keine die eigentliche Frage des OP ganz erfasst. Lassen Sie mich versuchen, ihre Frage zu präzisieren:

Ist diese Theorie a priori eine logisch mögliche , selbstkonsistente relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitation (abgesehen von der Behandlung masseloser Teilchen)?
(Eng verwandt) Hätte es 1915 (dem Jahr, in dem Einstein GR vorschlug) auf der Grundlage qualitativer experimenteller Daten sofort sofort abgelehnt werden können , ohne dass überhaupt Berechnungen erforderlich waren? (Ich versuche nicht, mit dieser Frage genau in das Unkraut zu geraten, was im Jahr 1915 bekannt war. Was ich wirklich meine, ist, bevor es irgendwelche experimentellen Beweise für die Gravitationsaberration des Lichts gab, könnte jemand diese Theorie sofort ausschließen , oder müssten sie eine quantitative Berechnung der Größe der Korrekturen der Newtonschen Gravitation durchführen?)
Wenn nicht, hat jemand diese Theorie jemals als eine mögliche relativistische Gravitationstheorie in Betracht gezogen, bevor Präzisionsexperimente GR als bessere Theorie bestätigten?

(Es kann einige Fragen geben, was mit dem passiert ${\bf v} \times {\bf B}$ Teil des Lorentzkraftgesetzes. Ich weiß, dass die "nichtrelativistische Grenze von EM" ein subtiles Thema ist, aber ich glaube, wenn Sie vorsichtig sind, wird dieser Begriff in der Grenze vernachlässigbar $v \ll c$ ; zB in CGS-Einheiten wird dieser Term um einen Faktor von unterdrückt $c$ relativ zum elektrischen Term im Lorentzkraftgesetz.)

Parker

Um dem unvermeidlichen Kommentar vorzubeugen: Ja, ich weiß, dass die dritte Frage möglicherweise besser zum SE-Netzwerk für Geschichte der Mathematik und Wissenschaft passt.

Knzhou

Ich verstehe nicht, wie die erste Gleichung überhaupt funktioniert. Im Elektromagnetismus

J^{μ}

$J^\mu$ muss ein Feld mit vier Vektoren sein. Aber sein Ersatz

P^{μ}

$P^\mu$ ist nur ein einziger Vierervektor, also der gesamte Viererimpuls. Wenn Sie vier Impulsdichte verwenden wollten, müssten Sie verwenden

T^{μ 0}

$T^{\mu 0}$ , was kein Vierervektor ist, und daher ist die Theorie nicht Lorentz-invariant. Sie wäre daher von den Pionieren der Allgemeinen Relativitätstheorie, die ausdrücklich nach einer relativistischen Gravitationstheorie suchten, rundweg abgelehnt worden. Andererseits könnte es mit dieser Modifikation dem Gravitomagnetismus ähneln.

Parker

@knzhou Ja, das ist mir eingefallen. Aber ich frage mich, ob es eine Möglichkeit gibt, das zu machen

P^{μ}

$P^\mu$ in ein Viervektorfeld. Dies wäre sicherlich eine ganz andere Theorie als GR oder andere Theorien in der Physik, aber ich sehe nicht auf Anhieb, warum dies nicht möglich sein kann.

Knzhou

Okay, ich verstehe, also kann die Stromdichte durch Ersetzen definiert werden

q

$q$ mit unveränderlicher Masse

m

$m$ . Diese Theorie ist wie eine etwas verfeinerte Version von Nordstroms Gravitationstheorie , vielleicht ist die Diskussion auf dieser Seite hilfreich. Ich denke, es gibt viele Möglichkeiten, eine Lorentz-Invariantentheorie zu erhalten, die wie die Newtonsche Gravitation in der nichtrelativistischen Grenze aussieht, aber die damals erhobenen Einwände gingen in die Richtung, z. B. zu fordern, dass die Gleichungen nichtlinear sind, um das starke Äquivalenzprinzip zu erfüllen.

Benutzer1379857

Es gibt eine wirklich wunderbare Diskussion dieser Fragen am Anfang von Feynmans Lehrbuch über die allgemeine Relativitätstheorie, wo er die Tatsachen durchgeht, die die Schwerkraft vermittelnden Nicht-Spin-2-Teilchen ausschließen würden, mit allen möglichen originellen Beobachtungen

Parker

@ user1379857 Weißt du, welche dieser Tatsachen bereits 1915 bekannt waren? Nur das Zeichen der Präzession des Merkurperihels? (Ich besitze das Buch nicht.)

Antworten (3)

Können wir eine logisch selbstkonsistente relativistische Gravitationstheorie konstruieren, indem wir einfach EM optimieren?

Um dem unvermeidlichen Kommentar vorzubeugen: Ja, ich weiß, dass die dritte Frage möglicherweise besser zum SE-Netzwerk für Geschichte der Mathematik und Wissenschaft passt.
Ich verstehe nicht, wie die erste Gleichung überhaupt funktioniert. Im Elektromagnetismus $J^\mu$ muss ein Feld mit vier Vektoren sein. Aber sein Ersatz $P^\mu$ ist nur ein einziger Vierervektor, also der gesamte Viererimpuls. Wenn Sie vier Impulsdichte verwenden wollten, müssten Sie verwenden $T^{\mu 0}$ , was kein Vierervektor ist, und daher ist die Theorie nicht Lorentz-invariant. Sie wäre daher von den Pionieren der Allgemeinen Relativitätstheorie, die ausdrücklich nach einer relativistischen Gravitationstheorie suchten, rundweg abgelehnt worden. Andererseits könnte es mit dieser Modifikation dem Gravitomagnetismus ähneln.
@knzhou Ja, das ist mir eingefallen. Aber ich frage mich, ob es eine Möglichkeit gibt, das zu machen $P^\mu$ in ein Viervektorfeld. Dies wäre sicherlich eine ganz andere Theorie als GR oder andere Theorien in der Physik, aber ich sehe nicht auf Anhieb, warum dies nicht möglich sein kann.
Okay, ich verstehe, also kann die Stromdichte durch Ersetzen definiert werden $q$ mit unveränderlicher Masse $m$ . Diese Theorie ist wie eine etwas verfeinerte Version von Nordstroms Gravitationstheorie , vielleicht ist die Diskussion auf dieser Seite hilfreich. Ich denke, es gibt viele Möglichkeiten, eine Lorentz-Invariantentheorie zu erhalten, die wie die Newtonsche Gravitation in der nichtrelativistischen Grenze aussieht, aber die damals erhobenen Einwände gingen in die Richtung, z. B. zu fordern, dass die Gleichungen nichtlinear sind, um das starke Äquivalenzprinzip zu erfüllen.
Es gibt eine wirklich wunderbare Diskussion dieser Fragen am Anfang von Feynmans Lehrbuch über die allgemeine Relativitätstheorie, wo er die Tatsachen durchgeht, die die Schwerkraft vermittelnden Nicht-Spin-2-Teilchen ausschließen würden, mit allen möglichen originellen Beobachtungen
@ user1379857 Weißt du, welche dieser Tatsachen bereits 1915 bekannt waren? Nur das Zeichen der Präzession des Merkurperihels? (Ich besitze das Buch nicht.)

AVS · Answer 1

Wie ein Kommentar von @knzhou andeutet, $P^μ$ kann nicht (proportional) zu 4-Impuls sein. Aber es könnte eine Art „Materiedichte“-Strom sein.

Was wirklich nicht stimmig wäre, ist das hier nur per Hand gesetzte „Lorentz-Kraft-Gesetz“. Das Kraftgesetz ist keine unabhängige Gleichung (obwohl Einstein ursprünglich so dachte), sondern folgt dem einschränkenden Verfahren selbstkonsistenter Feldgleichungen in Gegenwart punktförmiger Quellen.

Wenn wir das Vorzeichen für den Strom in der „Maxwell-Gleichung“ umdrehen, würden wir immer noch die EM-Theorie erhalten, aber mit positiven Ladungen, die jetzt als negativ bezeichnet werden und umgekehrt. Und das bedeutet, dass die Feldenergiedichte für eine solche vermeintliche „Maxwellsche Gravitationstheorie“ in Newtonscher Näherung wäre

U_{MGT}^{'} = \frac{1}{8 π G} | \nabla Φ |^{2},

$U'_\text{MGT}=\frac{1} {8\pi G} |\nabla \Phi|^2,$ Wo

Φ

$\Phi$ ist das Gravitationspotential. Das bedeutet, dass die Gesamtenergie zweier nahe beieinander gehaltener Punktladungen größer wäre als die Energie derselben Ladungen, die in großem Abstand voneinander gehalten werden, was wiederum bedeutet, dass sich gleiche Ladungen abstoßen.

Um mit der Newtonschen Gravitationsgrenze vereinbar zu sein, muss die Energiedichte des statischen (oder quasi-statischen) Gravitationsfeldes negativ sein :

U_{NG} = - \frac{1}{8 π G} | \nabla Φ |^{2},

$U_\text{NG}=- \frac{1} {8\pi G} |\nabla \Phi|^2,$ was eine Anziehungskraft für gleiche Ladungen gewährleisten würde. Dies könnte mit der Theorie des Skalarfelds (wie Nordströms Kandidatentheorie der Gravitation) oder des Tensorfelds (wie GR) erreicht werden, aber nicht mit dem Vektorfeld.

Update: Ein Beweis für einen Zusammenhang zwischen Anziehung/Abstoßung zwischen gleichen Ladungen und dem Spin des vermittelnden Feldes findet sich hier:

Jagannathan, K. & Singh, LPS (1986). Anziehung/Abstoßung zwischen gleichen Ladungen und dem Spin des klassischen Vermittlungsfeldes . Physical Review D, 33(8), 2475, doi:10.1103/PhysRevD.33.2475 .

Unter Annahmen von

Poincare-Invarianz der Theorie,
Existenz der Lagrange-Formulierung,
KG-Gleichung $(\partial^2 +m^2)A_{…}=0$ für den vermittelnden Spin– $s$ Feld $A_{…}$ in Ermangelung von Quellen,
Wechselwirkung Lagrangian der Form $J^{…} A_{…}$ ,
Rotationssymmetrie/Fehlen einer intrinsischen Richtung für die Quelle $J^{…}$ ;

die potentielle Energie zwischen zwei gleichen Ladungen $e$ Und $e'$ hat die Form:

(-)^{S + 1} e e^{'} \times (positive Zahl) \times \frac{\exp (- M R)}{R} .

$(-)^{s+1} e e' × (\text{positive number}) × \frac{\exp(-mr)}r.$

Der Beweis besteht darin, den Ausdruck für die Energiedichte des Feldes zu analysieren $A$ nach Auferlegung geeigneter Messaufnehmerbedingungen (z. B. Variante des Coulomb-Eichers). Die Energie muss den Begriff haben $(\partial_0 A_{i_1 i_2 …})^2$ mit einem Pluszeichen (dies ist der „kinetische“ Begriff, der für Freifeldschwingungen vorhanden ist). Dies würde aber bedeuten, dass der Begriff mit räumlichen Gradienten des Coulomb-Potentials $(\partial_i A_{00…})^2$ (und das ist der Begriff, der zur potenziellen Energie statischer Punktladungen beiträgt) insgesamt gewinnen würde $(-1)^{s+1}$ Zeichen wegen $s+1$ Zeiten Erhöhung der Indizes.

Warum können Skalar- und Tensorfelder anziehen, aber keine Vektorfelder?
@tparker: Siehe das Update (und das zitierte Papier für Details).
Interessant, obwohl dies 1986 als veröffentlichungsfähige Forschung angesehen wurde, wurde es 1913 vermutlich nicht richtig verstanden.

Andreas Steane · Answer 2

Andreas Steane

Die aufschlussreiche Antwort von AVS gibt hier die meisten Informationen. Ich möchte lediglich hinzufügen, dass ein wesentlicher Gestaltungsfaktor für eine Gravitationstheorie nicht nur darin bestand, dass sie kovariant ist und die rechte Grenze auf Newton reduziert, sondern dass das Äquivalenzprinzip eingebaut ist. Ich denke, wenn Sie auf Letzterem bestehen Sie werden zu Einsteins GR geführt (oder zu etwas Komplizierterem).

Parker

Wissen Sie, warum das Äquivalenzprinzip vor den Präzisionstests von GR so stark gewünscht wurde? Ich frage mich, warum Nordstroms skalare Gravitationstheorie von 1913 (von der ich gerade erfahren habe) (soweit ich weiß) nie aufkam, obwohl sie mir a priori ein vernünftiger Anwärter auf eine relativistische Gravitationstheorie zu sein scheint. War es nur so, dass Nordstroms Theorie die falsche Richtung für die Präzession des Merkurperihels vorhersagte?

Andreas Steane

Ich habe nur einen Eindruck von der Geschichte, aber dieser Eindruck ist, dass Einstein schon früh davon angetan war, wie die Schwerkraft wie eine Trägheitskraft wirkt, was ihn wiederum dazu veranlasste, über beschleunigende Rahmen wie rotierende Scheiben nachzudenken, die mit SR "in Hand" führte zu verallgemeinerten Koordinaten und der Riemannschen Geometrie. Sobald Sie geometrisch denken, ist die Metrik zentral und der Rest ist Geschichte ...

Parker

Ja, nach meinem Verständnis von Einsteins Persönlichkeit bin ich mir sicher, dass er selbst in erster Linie von der Eleganz einer geometrischen Theorie motiviert war. Aber ich bin ein wenig überrascht, dass niemand sonst in der breiteren wissenschaftlichen Gemeinschaft Nordstroms Theorie mit der pragmatischen Begründung bevorzugt zu haben schien, dass sie einfacher als GR sei. Ich habe noch nie davon gehört, dass dies eine aktive Debatte innerhalb der wissenschaftlichen Gemeinschaft ist, aber ich kenne die Geschichte nicht sehr gut.

Maximales Ideal · Answer 3

Über diese Frage denke ich schon eine ganze Weile nach. Ich habe eine Antwort auf der von Ihnen verlinkten Seite gepostet, auf der ich versuche, im Sinne der Frage von OP zu antworten. Obwohl es keinen a priori Widerspruch gibt, führt die Theorie zu unphysikalischen Pathologien (zum Beispiel kann die Energie des Feldes nicht positiv definit werden).

Wenn jemand eine Gravitationstheorie in Form von "neu verpackten Maxwell-Gleichungen" vorschlagen würde, würde ich die Person herausfordern, zu erklären, wie sie die Möglichkeiten Nr. 1, Nr. 2 und Nr. 3 meines Beitrags umgeht.

Ich weiß nicht, ob diese genauen Probleme damals von Einstein und seinen Kollegen berücksichtigt wurden, aber ich habe den Namen von Oliver Heaviside gesehen, der mit den Arten von Gravitationstheorien verbunden ist, die in Ihrem Beitrag und dem von Ihnen verlinkten Beitrag vorgeschlagen wurden, aber ich kann es nicht mehr Details als das geben.

Können wir eine logisch selbstkonsistente relativistische Gravitationstheorie konstruieren, indem wir einfach EM optimieren?

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Benutzer1379857

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