Ähnlichkeit zwischen der Coulomb-Kraft und Newtons Gravitationskraft

Es ist eine gute Beobachtung, dass sowohl das elektrische als auch das Gravitationsfeld die Poisson-Gleichung erfüllen

Unter Verwendung der allgemeinen Relativitätstheorie und insbesondere der Feldgleichungen von Einstein kann man jedoch in bestimmten Situationen (wo die Schwerkraft schwach und die Raumzeit ziemlich flach ist) zeigen, dass sich die Schwerkraft tatsächlich wie die Elektrodynamik verhält. Tatsächlich gibt es Felder, die als gravitoelektrische und gravitomagnetische Felder bezeichnet werden und analogen Gleichungen zu den Maxwell-Gleichungen gehorchen. Das Ergebnis ist der sogenannte Gravitoelektromagnetismus (GEM).

Diese https://arxiv.org/abs/gr-qc/0311030 scheint eine ziemlich schöne Übersicht zu sein.

Um die anderen Antworten zu ergänzen, können Sie die Schwerkraft im Allgemeinen aus zwei sehr grundlegenden Gründen nicht mit Maxwell-ähnlichen Gleichungen darstellen: (1) Die Feldgleichungen der Schwerkraft sind nicht linear und (2) das Gravitationsfeld koppelt an einen Tensor des Ranges 2 .

Die Maxwell-Gleichungen sind linear, was bedeutet, dass das Superpositionsprinzip gilt und das Feld nicht mit sich selbst interagiert. Die Einstein-Feldgleichung ist jedoch nichtlinear, sodass das Superpositionsprinzip nicht gilt und das Feld selbst wechselwirkt.

Das elektromagnetische Feld koppelt an Ladungsdichte und Stromdichte, die als Lorentz-invarianter Vierervektor (ein Rang-1-Tensor) geschrieben werden kann. Das metrische (Gravitations-)Feld koppelt an den Spannungs-Energie-Tensor, der ein Lorentz-invarianter Rang-2-Tensor ist. Aus diesem Grund haben Photonen Spin-1, während theoretische Gravitonen Spin-2 haben. Da die Maxwellschen gravitomagnetischen Feldgleichungen nur vier Komponenten des Spannungs-Energie-Tensors (Massendichte und Massenstrom) beinhalten, können sie unmöglich Lorentz-invariant sein. Somit führt eine einfache Änderung des Referenzrahmens zu Vorhersagen, die dem Experiment widersprechen.

In einem zu einer Ladung ruhenden Trägheitsbezugssystem sieht man nur ein Coulomb-Feld. Bei Umwandlung in ein anderes Trägheitsbezugssystem, das sich relativ zur Ladung bewegt, erhält man ein Magnetfeld. Die detaillierte Transformationsformel kann auf dieser Wiki-Seite eingesehen werden .

Nun stellt sich die Frage, können wir dasselbe für die Schwerkraft tun (angenommen, wir befinden uns nur im Regime der speziellen Relativitätstheorie und tun so, als ob die allgemeine Relativitätstheorie nicht existiert)?

Die Antwort lautet „nein“ aufgrund eines wesentlichen Unterschieds zwischen Ladung und Masse: Die Ladung ist eine Invariante der Lorentz-Transformation, was bedeutet, dass unterschiedliche Trägheitsbezugssysteme die gleiche Ladungsmenge sehen, die Masse jedoch nicht. Wir wissen nicht (oder?), wie der "Coulomb"-Anteil der Gravitationskraft aussehen sollte, wenn sich die Masse bewegt. Sollen wir die Ruhemasse oder die "aufgeblasene Masse" ($m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$)? Und welchen Abstand sollten wir in das Coulombsche Gesetz eintragen? Der verzögerte oder der sofortige? Auch wenn wir versuchen, in jeder Hinsicht die Coulomb-Kraft nachzuahmen, die wir nämlich nutzen$m_0$und dem verzögerten Abstand, und kommen zu einem Satz von Transformationsregeln für die "elektromagnetisch ähnliche" Gravitationskraft, ist die Theorie nicht in sich widerspruchsfrei , einfach weil die Massendichte und der Massenfluss zusammen keinen relativistischen Vierervektor bilden, während die Ladungsdichte und der Ladungsfluss tun es. Intuitiv gesprochen besteht der Unterschied darin, dass Energie Ruhemasse erzeugen kann , während nichts eine Nettoladung erzeugen kann .

Update : Ich habe gerade festgestellt, dass mein Argument, dass (Massendichte, Massenfluss) keinen Vierervektor bildet, während (Ladungsdichte, Ladungsfluss) dies tut, der Antwort von Joshphysics entspricht, die die Maxwell-Gleichung beinhaltet$\mathrm{J}$existiert nicht für die Schwerkraft.

Man kann im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie (wie in den Kommentaren ausgeführt) etwas Ähnliches wie Elektromagnetismus bekommen, aber für mich ist das eine andere Geschichte ...

Ich vermute (aber nicht sicher, weil ich nicht weiß, was 1905 wirklich mit Einstein passiert ist -$\sim$1915; korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege) könnte das, worüber ich oben gesprochen habe, ein Grund für Einstein sein, einen solchen "scheinbaren" Ansatz aufzugeben, um die Schwerkraft in den Rahmen der speziellen Relativitätstheorie aufzunehmen, und sich für die viel indirektere, nichttrivialere und revolutionärere "Geometrisierung" zu entscheiden "Ansatz, nämlich die Allgemeine Relativitätstheorie.

Die grundlegende Vorstellung, zumindest klassisch, ist, dass Kräfte durch Krümmung dargestellt werden. Die der Schwerkraft durch die Krümmung der Raumzeit und die der anderen Kräfte durch die Krümmung eines inneren Raums.

Diese Idee wird in der nichtkommutativen Geometrie ausgenutzt, um das gesamte Standardmodell – mit ungefähr hundert Termen – als die spektrale Einstein-Riemann-Wirkung der Raumzeit multipliziert mit einem kleinen nichtkommutativen Raum zu schreiben, dessen klassische Dimension Null ist, dessen nichtklassische Dimension jedoch ist 6. Dies ist bemerkenswert, da die Stringtheorie über 6d-Räume kompaktiert. Das ist Einsteins Traum von einer einheitlichen klassischen Theorie ebenso wie Cliffords Traum, der fünfzig Jahre vor Einstein spekulierte, dass alle Naturkräfte durch die Ebbe und Flut der Raumkrümmung repräsentiert werden könnten.

Da die Maxwellschen Gleichungen aus der Krümmung eines Innenraums entstehen, könnte man vermuten, dass wir das Gravitationsfeld ähnlich schreiben können. Dies ist richtig und wurde erstmals von Heaviside durchgeführt, als er die Vektoranalyse entwickelte. In seiner 1893 in The Electrician veröffentlichten Arbeit mit dem Titel A Gravitational and Electromagnetic Analogy sagt er:

Angesichts der erfolgreichen Art und Weise, in der Maxwells Lokalisierung der elektrischen und magnetischen Energie in seinem Äther zu theoretischen Überlegungen führt, ist der Vorschlag sehr natürlich, dass wir versuchen sollten, die Gravitationsenergie auf ähnliche Weise zu lokalisieren, wobei ihre Dichte vom Quadrat abhängt von der Intensität der Kraft, zumal das Gesetz der inversen Quadrate durchgehend involviert ist .

Er fährt fort, die Schwerkraft in einer Maxwell-ähnlichen Form aufzuschreiben, die Behera & Barik Heaviside-Schwerkraft nennen. Tatsächlich unternahm Maxwell selbst einen fehlgeschlagenen Versuch in seinen Papieren, die seine Gleichungen darlegten.

Alternativ haben Hehl & Obukhov die Raumgleichungen von Maxwell aus der Erhaltung der elektrischen Ladung und des magnetischen Flusses abgeleitet. Dies ist gewissermaßen eine formelle Übung, die sich aus zwei Arten von Erhaltungsgesetzen ergibt. Jetzt können wir elektrische Ladung und Strom durch Masse und Massenstrom ersetzen, um die inhomogenen Gleichungen der Heaviside-Schwerkraft zu erhalten. Aber was ist mit den homogenen Gleichungen? Dies erfordert ein magnetisches Analogon der Schwerkraft. Dies ist durch eine gewisse doppelte Kontraktion des Riemann-Tensors gegeben.

Philosophisch gesehen ist jede physikalische Ordnung im Universum ein Aspekt einer einheitlichen Ordnung in der Natur. Spinoza zum Beispiel hat dies einfach durch seinen Begriff der Ausdehnung bezeichnet. Kein Wunder also, dass wir ein einheitliches Gesetz gefunden haben – das war zu erwarten.