Coulombsches Gesetz in Gegenwart eines starken Gravitationsfeldes

Natürlich muss das Coulombsche Gesetz angepasst werden! Und es ist daher ein Glück, dass es offensichtlich kovariante Formulierungen des Elektromagnetismus gibt , die sich nicht darum kümmern, wie die Raumzeit gekrümmt ist. Allerdings sollten wir zunächst kurz anmerken, dass das Coulombsche Gesetz nicht zu den Grundgesetzen des Elektromagnetismus gehört, obwohl es bei seiner Entstehung eine große Rolle gespielt hat:

Das Coulombsche Gesetz ist nur die Lösung der Maxwellschen Gleichungen für eine Punktladung und keinen Strom im flachen Minkowski-Raum. Die Maxwell-Gleichungen können gemeinsam auf beliebige Raumzeiten verallgemeinert werden:

Die elektrische Feldstärke ist eine 2-Form$F = \frac{1}{2}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu$auf Raumzeit, und elektrischer Strom ist eine 3-Form$J = \frac{1}{6}J_{\mu\nu\rho}\mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu \wedge \mathrm{d}x^\rho$, als Hodge-Dual des üblichen Vektorstroms. Die Maxwell-Gleichungen lassen sich jetzt einfach lesen

wo, da der Hodge-Stern von der Metrik abhängt, die Krümmung der Raumzeit tatsächlich die Form unserer Gesetze beeinflusst.

Es muss angemerkt werden, dass die Vorstellung, „getrennte Gesetze“ für elektrische und magnetische Felder zu haben, in beliebigen Raumzeiten keinen Sinn mehr macht, da sie sich je nach Metrik auf (fast) beliebige Weise vermischen. Sie können immer noch die elektrischen und magnetischen Felder als Komponenten erhalten$F^{0i}$und$F^{ij}$der Feldstärke, aber Sie werden keine schönen, frameunabhängigen Gesetze für sie schreiben. Maxwells Gleichungen lassen sich nicht gut in "Gausssches Gesetz", "Faradaysches Gesetz" oder ähnliche Dinge in einer allgemeinen Umgebung auflösen.

Ja. Genau genommen können Sie das Coulombsche Gesetz oder allgemein jedes Gesetz über den Abfall von etwas mit der Entfernung im gekrümmten Raum nicht anwenden.

Stattdessen müssen Sie zu einem feldbasierten Formalismus übergehen. Sie können berechnen, wie sich das elektromagnetische Feld durch einen gekrümmten Hintergrund ausbreitet – im Grunde nehmen Sie die Maxwell-Gleichungen in Tensorform und ersetzen gewöhnliche Ableitungen durch kovariante Ableitungen bezüglich der Raumzeitmetrik (für blutige Details siehe Wikipedia ). Dies kann dazu führen, dass der effektive Abfall schwächer oder stärker ist als$1/r^2$abhängig von bestimmten Bedingungen, da die EM-Feldlinien durch die Krümmung verzerrt werden.

Es besteht keine Notwendigkeit, hier die Raumzeitkrümmung heranzuziehen, um einige nichttriviale Ergebnisse erster Ordnung zu erhalten, zumindest in einem schwachen Gravitationsfeld wie dem der Erde.

Aufgrund des Äquivalenzprinzips ist das homogene Gravitationsfeld nicht vom beschleunigten Koordinatensystem zu unterscheiden. Daher wird ein frei fallender Beobachter zB im Gravitationsfeld der Erde beobachten, dass eine stationäre Ladung das gleiche elektromagnetische Feld hat wie eine gleichmäßig beschleunigte Ladung außerhalb des Gravitationsfeldes.

Um zu sehen, was ein stationärer Beobachter sehen wird, muss man nur eine Koordinatentransformation vom frei fallenden Referenzrahmen zum stationären Rahmen durchführen.

Das 1/r ² -Gesetz gilt perfekt, solange Sie bereit sind, genau zu überdenken, was 'r' bedeutet. 1/r ² muss aus den gleichen Gründen gelten, dass sich die Masse eines Schwarzen Lochs nicht ändert, egal wie weit man davon entfernt ist. Es ist eine Erhaltungssache.

Grundsätzlich wird die Radialkoordinate definiert, indem die Oberfläche einer Kugel um die Masse (oder Punktladung oder geladenes Schwarzes Loch ...) gemessen wird, und dann wird r als AreaOfSphere / sqrt (4pi) definiert.

Hier ist der Unterschied - um von sagen wir r = 2 km auf r = 1 km zu gehen, werden Sie im Allgemeinen weiter als 1 km laufen! Das Ergebnis davon ist die kanonische Zeichnung eines Schwarzen Lochs als Horn.

Bezug:

... im Allgemeinen stellt die Schwarzschild-Radialkoordinate 
radiale Entfernungen nicht genau dar ... 
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_coordinates

Dieser Abschnitt auf der Wikipedia-Seite enthält mehr Details.

Wenn die Dinge wie in der Frage nicht symmetrisch sind, muss man sich auf die Verzerrung einstellen. Es ist jedoch das gleiche Konzept wie für ein geladenes Schwarzes Loch - das Columbs-Gesetz funktioniert perfekt, da es Ladung sparen muss.