Rechenfehler irgendwo beim Finden des Stress-Energie-Tensors

Wenn die Lagrangian in Maxwells Theorie ist

$$L= R- \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

Ich möchte finden$T_{\mu\nu}$

Das Verfahren ist, dass ich die Aktion variiere:

$$\delta S = -1/2 \int{d^4x \sqrt{g}(g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}L-2\delta L)}$$

Ich habe gerechnet

$$\delta L = 2(\delta g^{\mu\nu})F_{\nu}\, ^{\lambda} F_{\mu\lambda}$$ Dann ersetzte ich die Dinge wieder, indem ich das R im Lagrangian oben aus einem Grund ignorierte, den ich nicht kenne, aber ich zielte darauf ab, die endgültige Antwort zu erreichen, die war $T_{\mu\nu}$- Ich habe in google nachgeschaut, um es gleich zu finden $$T_{\mu\nu}= F_{\mu\lambda} F^\lambda_\nu - 1/4g_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$$

Als ich meine ersetzte$\delta L$, Und$L$und wieder ($L$ohne R) bekam ich:

$$\delta S = \int{ d^4x \sqrt{g} \delta g^{\mu\nu}(-1/4 g_{\mu\nu}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}F _\nu \, ^\lambda F_{\mu\lambda})}$$ Also wegen der Relation $\delta S = \int{ d^4x \sqrt{g} \delta g^{\mu\nu}(T_{\mu\nu})}$Ich wusste durch Identifizierung, dass mein Tensor ist $$-1/4 g_{\mu\nu}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + g_{\mu\nu}F_\nu \, ^\lambda F_{\mu\lambda}.$$

Vergleich mit dem, den ich im Internet gefunden habe, ich weiß nicht, wie ich den loswerden soll$g_{\mu\nu}$im zweiten Term in meinem Tensor und ich weiß nicht, warum meine F-Indizes im ersten Term die gleichen sind wie die der Metrik g im Gegensatz zu dem Tensor, den ich in Google nachgeschlagen habe.

Könnt ihr mir bitte helfen, meinen Fehler zu finden?