Brauche Hilfe bei Tensoren

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Brauche Hilfe bei Tensoren

Benutzer41178

Ich bin in einem Kurs der Allgemeinen Relativitätstheorie und bin ziemlich neu in Tensoren. Mein Professor sagt, dass er das Lernen über die Manipulation von Tensoren unserer Lektüre überlassen wird (da es einen Abschnitt in dem Buch gibt, der dies beschreibt, nämlich das Buch von Carroll), aber ich bin immer noch verwirrt über ein paar Dinge. Hier ist ein Problem, das ich gerade gelöst habe, aber ich möchte mehr Details darüber haben, was vor sich geht.

Das Problem lautet: „Für eine Gruppe von Teilchen, die sich alle mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, $\tilde{\beta} = \beta \tilde{e}_x$ wie in einem Trägheitsbezugssystem S mit einer Ruhemassendichte von gesehen $\rho_0$ , berechnen Sie den Spannungs-Energie-Tensor."

Also nochmal, ich habe die Lösung und konnte sie bekommen, aber ich verstehe sie nicht. Für ein perfektes Fluid hat der Spannungsenergietensor also nur eine Komponente, nämlich

T^{μ v} = (\begin{array}{cccc} ρ_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T^{\mu \nu} = \left( \begin{array}{cccc} \rho_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Die 4-Geschwindigkeit eines intertialen Rahmens, der sich mit Geschwindigkeit bewegt $\tilde{\beta}$ wird gegeben von:

U^{μ} = (\begin{array}{cccc} γ \\ γ β \\ 0 \\ 0 \end{array})

$\begin{equation} U^{\mu} = \left( \begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma \beta \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation}$

In der Lösung heißt es also: "Durch Transformation in einen Rahmen, der sich mit Geschwindigkeit in x-Richtung bewegt $-\beta$ , finden wir die Nicht-Null-Komponenten."

Um also die von ihnen bereitgestellte Lösung zu erhalten, habe ich rein durch mathematische Manipulation festgestellt, dass ich Folgendes tun muss (ich glaube nicht, dass meine Notation korrekt ist):

Erstmal schreiben:

U^{μ} U^{v} = (\begin{array}{cccc} γ^{2} & γ^{2} β & 0 & 0 \\ γ^{2} β & γ^{2} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} U^{\mu}U^{\nu}= \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2 & \gamma^2\beta & 0 & 0 \\ \gamma^2\beta & \gamma^2\beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Dann habe ich das so gemacht:

T^{μ v} \otimes U^{μ} U^{μ} = (\begin{array}{cccc} γ^{2} ρ_{0} & γ^{2} ρ_{0} β & 0 & 0 \\ γ^{2} ρ_{0} β & γ^{2} ρ_{0} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T^{\mu\nu}\otimes U^{\mu}U^{\mu}= \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2\rho_0 & \gamma^2\rho_0\beta & 0 & 0 \\ \gamma^2\rho_0\beta & \gamma^2\rho_0\beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$ Das ist die Antwort. Aber warum stellt dies eine Transformation zum bewegten Rahmen dar? Außerdem denke ich, dass es auch etwas mit dem Vorzeichen geben kann

β

$\beta$ wie es sich bewegt

- β

$-\beta$ in Bezug auf das Ruhesystem der Partikel. Außerdem bin ich mir nicht sicher, wie ich es verwende

\otimes

$\otimes$ ist richtig. Alles, was ich tat, war Matrix multiplizieren

U^{μ} U^{ν}

$U^{\mu}U^{\nu}$ mit

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ . Jede Hilfe wäre willkommen!

hebetudinös

Wenn sich der Rahmen mit bewegt

- β

$-β$ , die Sache geht voran

β

$β$ , also stimmt das Vorzeichen.

Konstantin Schwarz

Hallo. Für ein perfektes Fluid gilt der Spannungs-Energie-Tensor

T_{α β} = ρ u^{α} u^{β}

$T_{αβ}=ρu^{α}u^{β}$ . Lorentz transformiert Ihre Objekte aus dem Trägheitsrahmen, den Sie bereits haben, in die Bewegung. Ich denke, Sie werden dann herausfinden, warum das Ergebnis dasselbe ist.

Benutzer5174

Es kann (oder auch nicht) hilfreich sein, die metrische Transponierung zu berücksichtigen

g_{μ κ} T^{κ ν}

$g_{\mu \kappa} T^{\kappa \nu}$ statt

T

$T$ , also haben Sie ein Objekt, dessen Koordinatendarstellung wirklich a ist

4 \times 4

$4 \times 4$ Matrix. Wenn Sie bei Zeilen vs. Spalten vorsichtig sind, ist die Koordinatendarstellung von

T^{μ ν}

$T^{\mu \nu}$ sollte ein sein

16 \times 1

$16 \times 1$ Matrix in vier unterteilt

4 \times 1

$4 \times 1$ Blöcke.

Antworten (1)

Brauche Hilfe bei Tensoren

Wenn sich der Rahmen mit bewegt $-β$ , die Sache geht voran $β$ , also stimmt das Vorzeichen.
Hallo. Für ein perfektes Fluid gilt der Spannungs-Energie-Tensor $T_{αβ}=ρu^{α}u^{β}$ . Lorentz transformiert Ihre Objekte aus dem Trägheitsrahmen, den Sie bereits haben, in die Bewegung. Ich denke, Sie werden dann herausfinden, warum das Ergebnis dasselbe ist.
Es kann (oder auch nicht) hilfreich sein, die metrische Transponierung zu berücksichtigen $g_{\mu \kappa} T^{\kappa \nu}$ statt $T$ , also haben Sie ein Objekt, dessen Koordinatendarstellung wirklich a ist $4 \times 4$ Matrix. Wenn Sie bei Zeilen vs. Spalten vorsichtig sind, ist die Koordinatendarstellung von $T^{\mu \nu}$ sollte ein sein $16 \times 1$ Matrix in vier unterteilt $4 \times 1$ Blöcke.

Zhengyan Shi · Answer 1

Ihre Methode hier ist falsch und Ihre Berechnungen sind etwas daneben (obwohl Sie die richtige Antwort erhalten haben). Gehen wir also das richtige Verfahren durch.

Für jeden beliebigen Tensor in der flachen Raumzeit (wir leben also immer noch in der speziellen Relativitätstheorie) kann das Transformationsgesetz durch die folgende Gleichung beschrieben werden:

T^{μ^{'} v^{'}} = T^{μ v} Λ_{μ}^{μ^{'}} Λ_{v}^{v^{'}}

$T^{\mu'\nu'} = T^{\mu\nu} \Lambda^{\mu'}_{\mu} \Lambda^{\nu'}_{\nu}$ Bei dem die

Λ

$\Lambda$ s stehen für Lorentz-Transformationen vom ursprünglichen Frame (ohne Grundierung) zu dem Frame, in den wir transformieren (den grundierten Frame). So

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ sind die Komponenten des Spannungs-Energie-Tensors im ungestrichenen Rahmen, während

T^{μ^{'} ν^{'}}

$T^{\mu'\nu'}$ sind die entsprechenden Bauteile im grundierten Rahmen.

Da Sie nun den Stress-Energie-Tensor in seiner Matrixform ausgedrückt haben, werde ich dasselbe tun. Die Matrixform der Transformationsgleichung lautet:

T^{'} = Λ T Λ^{T}

$T' = \Lambda T \Lambda^T$ Wo

Λ

$\Lambda$ ist die Matrixdarstellung der Lorentz-Transformation und

Λ^{T}

$\Lambda^T$ ist die Transponierung (Vertauschen von Zeilen und Spalten) von

Λ

$\Lambda$ .

Für einen Schub in der $x$ Richtung mit Geschwindigkeit $- \beta$ (Ihr Fall), die $\Lambda$ Matrix sieht so aus:

Λ = (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \Lambda = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$ Die Transponierung ist eigentlich die gleiche:

Λ^{T} = (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} \Lambda^T = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$ Damit wir dann rechnen können

T^{'}

$T'$ :

T^{'} = (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cccc} ρ_{0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{cccc} γ & γ β & 0 & 0 \\ γ β & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cccc} γ^{2} ρ_{0} & γ^{2} ρ_{0} β & 0 & 0 \\ γ^{2} ρ_{0} β & γ^{2} ρ_{0} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T' = \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \rho_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\ \gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2 \rho_0 & \gamma^2 \rho_0 \beta & 0 & 0 \\ \gamma^2 \rho_0 \beta & \gamma^2 \rho_0 \beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Überraschung! Ich habe eine andere Methode verwendet, aber die gleiche Antwort erhalten. Was ist hier also der Zufall? Nun, die Koinzidenz liegt einfach an der speziellen Form eines perfekten fluiden Spannungs-Energie-Tensors:

T^{μ v} = ρ_{0} U^{μ} U^{v}

$T^{\mu\nu} = \rho_0 U^{\mu} U^{\nu}$ Wenn wir also die Lorentz-Transformation auf den Tensor anwenden, erhalten wir:

T^{μ^{'} v^{'}} = T^{μ v} Λ_{μ}^{μ^{'}} Λ_{v}^{v^{'}} = ρ_{0} U^{μ} Λ_{μ}^{μ^{'}} U^{v} Λ_{v}^{v^{'}}

$T^{\mu'\nu'} = T^{\mu\nu} \Lambda^{\mu'}_{\mu} \Lambda^{\nu'}_{\nu} = \rho_0 U^{\mu} \Lambda^{\mu'}_{\mu} U^{\nu} \Lambda^{\nu'}_{\nu}$ Das entspricht der Anwendung von Lorentz-Transformationen auf die vier Geschwindigkeiten

U^{μ}

$U^{\mu}$ Und

U^{ν}

$U^{\nu}$ getrennt und dann ein Tensorprodukt nehmen:

T^{μ^{'} v^{'}} = ρ_{0} U^{μ^{'}} U^{v^{'}}

$T^{\mu'\nu'} = \rho_0 U^{\mu’} U^{\nu’}$ In Tensorform ist dies äquivalent zu:

T^{'} = ρ_{0} U^{'} \otimes U^{'}

$T' = \rho_0 U' \otimes U'$ Ihre Verwendung des Tensorprodukts war also falsch. Wenn wir die Rechnung auf diese Weise durchführen, erhalten wir:

U^{'} = (\begin{array}{cccc} γ \\ γ β \\ 0 \\ 0 \end{array})

$\begin{equation} U' = \left( \begin{array}{cccc} \gamma \\ \gamma \beta \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation}$ Damit wir dann rechnen können

T^{'}

$T'$ :

T^{μ^{'} v^{'}} = ρ_{0} U^{μ^{'}} U^{v^{'}} = ρ_{0} (\begin{array}{cccc} γ^{2} & γ^{2} β & 0 & 0 \\ γ^{2} β & γ^{2} β^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

$\begin{equation} T^{\mu'\nu'} = \rho_0 U^{\mu'} U^{\nu'} = \rho_0 \left( \begin{array}{cccc} \gamma^2 & \gamma^2 \beta & 0 & 0 \\ \gamma^2 \beta & \gamma^2 \beta^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

Ich hoffe, das beseitigt Ihre Verwirrung!

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hebetudinös

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Zhengyan Shi

Benutzer41178

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