Spannungsenergietensor einer perfekten Flüssigkeit und vier Geschwindigkeiten

Question

Spannungsenergietensor einer perfekten Flüssigkeit und vier Geschwindigkeiten

Vinzenz

In der folgenden Demonstration ist ein Fehler aufgetreten, aber ich kann nicht finden, wo. (Ich habe ausdrücklich die $c^2$ Einheiten verfolgen).

Wir betrachten eine Metrik $g_{\mu\nu}$ mit Unterschrift $(-, +, +, +)$ :

$\boxed{g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} \qquad\qquad \boxed{ g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{c^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$

Der Tensor einer perfekten Flüssigkeit ist: $\boxed { \begin{aligned} T^{\mu\nu} &= \left(\rho c^2+P\right)u^{\mu}u^{\nu}+Pg^{\mu\nu}\\ T_{\nu}^{\mu} &= \left(\rho c^2+P\right)u^{\mu}u_{\nu}+P\delta_{\nu}^{\mu}\\ T_{\mu\nu} &= \left(\rho c^2+P\right)u_{\mu}u_{\nu}+Pg_{\mu\nu} \end{aligned} }$ Wo $\rho$ ist die Massendichte.

Das können wir leicht überprüfen $\rho c^2$ Und $P$ haben die gleiche Einheit.

Betrachten wir nur die erste Komponente $00$ , es gibt keinen Druck $P$ beteiligt (ich betrachte einen kosmologischen Fall, in dem die Flüssigkeit in sich bewegenden Koordinaten ruht). Die einzige Lösung dafür ist die $u^0u^0=-g^{00}$ , so dass der kontravariante perfekte Flüssigkeitstensor wird: $T^{00} = \left(\rho c^2+P\right)u^{0}u^{0}+Pg^{00}=\left(\rho c^2+P\right)\times{-g^{00}}+Pg^{00}=-\rho c^2 g^{00} = -\rho c^2 \times -\frac{1}{c^2}=\rho$ was das erwartete Ergebnis ist. Also, um das erwartete Ergebnis zu haben, sollte man haben $\boxed{\left(u^0\right)^2=+\frac{1}{c^2}}$ .

Jetzt kommt der seltsame Teil.

Die Metrik kann geschrieben werden: $ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=dt^2\left(-c^2+\frac{dx^2}{dt^2}+\frac{dy^2}{dt^2}+\frac{dz^2}{dt^2}\right)\approx-c^2dt^2$ was äquivalent ist zu:

$\frac{dt^2}{ds^2}\approx-\frac{1}{c^2}$

was bedeutet : $\boxed{\left(u^0\right)^2=-\frac{1}{c^2}}$

Wir haben hier also eindeutig ein Vorzeichenproblem zwischen den beiden Ausdrücken von $u^0$ .

FRAGE: Wo liegt der Fehler?

Hydro Guy

u^{0} = γ c

$u^0 = \gamma c$ , und nicht nur

- g_{00}

$-g_{00}$ , Sie streichen den Druckanteil bei der Berechnung nicht

T^{00}

$T^{00}$

Vinzenz

Wenn ich eine Flüssigkeit betrachte, die in sich bewegenden Koordinaten ruht, dann denke ich das

T^{00} = ρ

$T^{00}=\rho$

Hydro Guy

Trotzdem können Sie nicht so argumentieren, wie Sie es im zweiten Teil tun. Du hast

u^{μ} = c \frac{d x^{μ}}{d s}

$u^\mu=c\frac{dx^\mu}{ds}$ , und du kannst nicht wirklich einstellen '

d x^{2} = d y^{2} = d z^{2} = 0

$dx^2=dy^2=dz^2=0$

Vinzenz

Im zweiten Teil, als meine Flüssigkeit in Ruhe ist, denke ich, dass die Bedingungen

\frac{d x}{d t}

$\frac{dx}{dt}$ ,

\frac{d y}{d t}

$\frac{dy}{dt}$ ,

\frac{d z}{d t}

$\frac{dz}{dt}$ sind im Vergleich dazu vernachlässigbar

c^{2}

$c^2$ , nicht wahr?

Hydro Guy

Ich überprüfe meine Berechnungen, und hier ist, warum ich das hasse

g_{μ ν} = d i a g (- 1, 1, 1, 1)

$g_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)$ : Sie definieren

u^{μ} = - c \frac{d x^{μ}}{d s}

$u^{\mu} = - c\frac{dx^\mu}{ds}$ weil Sie in dieser Signatur zeitähnliche Intervalle haben

c d τ = - d s

$cd\tau = -ds$ und das hast du immer

u^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d τ}

$u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$ , und da haben Sie Ihr Vorzeichenproblem.

Vinzenz

Also für Sie, bei welchem spezifischen Schritt sind meine Berechnungen falsch?

Antworten (1)

Spannungsenergietensor einer perfekten Flüssigkeit und vier Geschwindigkeiten

$u^0 = \gamma c$ , und nicht nur $-g_{00}$ , Sie streichen den Druckanteil bei der Berechnung nicht $T^{00}$
Wenn ich eine Flüssigkeit betrachte, die in sich bewegenden Koordinaten ruht, dann denke ich das $T^{00}=\rho$
Trotzdem können Sie nicht so argumentieren, wie Sie es im zweiten Teil tun. Du hast $u^\mu=c\frac{dx^\mu}{ds}$ , und du kannst nicht wirklich einstellen ' $dx^2=dy^2=dz^2=0$
Im zweiten Teil, als meine Flüssigkeit in Ruhe ist, denke ich, dass die Bedingungen $\frac{dx}{dt}$ , $\frac{dy}{dt}$ , $\frac{dz}{dt}$ sind im Vergleich dazu vernachlässigbar $c^2$ , nicht wahr?
Ich überprüfe meine Berechnungen, und hier ist, warum ich das hasse $g_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1)$ : Sie definieren $u^{\mu} = - c\frac{dx^\mu}{ds}$ weil Sie in dieser Signatur zeitähnliche Intervalle haben $cd\tau = -ds$ und das hast du immer $u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$ , und da haben Sie Ihr Vorzeichenproblem.
Also für Sie, bei welchem spezifischen Schritt sind meine Berechnungen falsch?

Mond Ritter · Answer 1

Ein perfektes Fluid ist dadurch definiert, dass es im lokalen Ruhesystem keine Energieflüsse und keine anisotropen Spannungen zulässt. Also zu einem gegebenen Raum-Zeit-Punkt im lokalen Ruhesystem [in dem sich die Komponenten der 4-Geschwindigkeit befinden $u^{\alpha} = (1, 0, 0, 0)^{\mathsf{T}}$ ] sind die Energie-Impuls-Tensorkomponenten $T^{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(e, p, p, p)$ Wo $e$ ist die lokale Energiedichte, $p$ ist der Druck im lokalen Ruhesystem. Also in allgemeinen Koordinaten ist die Form des Energie-Impuls-Tensors (wie du geschrieben hast).

T^{a β} = (e + P) u^{a} u^{β} + P G^{a β} .

$T^{\alpha\beta} = (e + p)u^{\alpha}u^{\beta} + pg^{\alpha\beta}.$

Angenommen Einheiten wo $c = 1$ . Wie Sie richtig angemerkt haben

T^{00} = (e + P) u^{0} u^{0} - P = e,

$T^{00} = (e + p)u^{0}u^{0} - p = e,$

wo du richtig gezeigt hast $u^{0}u^{0} = 1$ .

Nun, der Fehler kommt von der Art und Weise, wie Sie die Vierergeschwindigkeit aus dem Ausdruck für die Metrik abgeleitet haben. Der korrekte Weg, die Vierer-Geschwindigkeit hier abzuleiten, besteht darin, zuerst die Vierer-Geschwindigkeit zu schreiben als

u^{a} = \frac{D}{D τ} (X^{0}, X^{ich})^{T},

$u^{\alpha} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(x^{0}, x^{i})^{\mathsf{T}},$

was gibt

u^{0} = \frac{D T}{D τ} = γ .

$u^{0} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \gamma.$

Dann natürlich im flüssigen Ruherahmen, den wir bekommen $(u^{0})^{2} = 1$ wie vorher.

Ich hoffe das hilft.

Bearbeiten. Um auf Ihre Kommentare einzugehen:

Für ein Teilchen mit festen räumlichen Koordinaten $x^{i}$ , das Intervall, das verstrichen ist, während es sich in der Zeit vorwärts bewegt, ist negativ, $\mathrm{d}s^{2} = −\mathrm{d}t^{2} < 0$ . Dies führt uns dazu, die richtige Zeit über zu definieren

D τ^{2} = - D S^{2} .

$\mathrm{d}\tau^{2} = -\mathrm{d}s^{2}.$

Die auf einer Bahn durch die Raumzeit verstrichene Eigenzeit ist die tatsächliche Zeit, die von einem Beobachter auf dieser Bahn gemessen wird. Ein anderer Beobachter wird, wie wir wissen, eine andere Zeit messen.

Ein Weg durch die Raumzeit wird angegeben, indem die vier Raumzeitkoordinaten als Funktion eines Parameters angegeben werden, $x^{\mu}(\lambda)$ , wobei typischerweise für zeitähnliche Pfade der bequemste zu verwendende Parameter die Eigenzeit ist $\tau$ . Damit wir schreiben können

τ = \int \sqrt{- D S^{2}} = \int \sqrt{- G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ}} D τ,

$\tau = \int \sqrt{-\mathrm{d}s^{2}} = \int \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{d}\tau}}\mathrm{d}\tau,$

Die Tangentenvektoren $u^{\mu} = \mathrm{d}x^{\mu}/\mathrm{d}\tau$ , sind unsere vier Geschwindigkeiten und diese können automatisch normalisiert werden, so dass wir haben

G_{μ v} u^{μ} u^{v} = u_{μ} u^{v} = - 1.

$g_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu} = u_{\mu}u^{\nu} = -1.$

Um sich davon zu überzeugen, können Sie den obigen Ausdruck im fließenden Ruherahmen betrachten. Hier haben wir $\gamma = 1$ Und $u^{i} = 0^{i}$ . Daher, $u^{\mu} = (1, u^{i})^{\mathsf{T}}$ . Wenn wir nun wieder das Ruhesystem der Flüssigkeit betrachten, können wir deutlich sehen

u^{0} u^{0} = 1.

$u^{0}u^{0} = 1.$

Nochmals, ich hoffe, das hilft.

In Ihren Notationen können Sie definieren, was ist $\tau$ in meinen Notationen (in Abhängigkeit von $s$ oder und $t$ )
$\tau$ ist die Eigenzeit . Zeit gemessen im Ruhesystem der Flüssigkeit. Es ist definiert als $\mathrm{d}\tau^{2} = \mathrm{d}S^{2}/c^{2}$ .
Die Vierergeschwindigkeit, wie ich sie geschrieben habe, ist kontravariant . Konträre Vektoren werden normalerweise als Spaltenvektoren geschrieben. Also, um einen Vektor zu machen, der durch eine Reihe dargestellt wird $(x, y, z)$ einen kontravarianten/Spaltenvektor darstellen, nehmen wir die Transponierte. Das ist meinerseits sehr umständlich, aber etwas, das ich immer gerne mache, wenn ich Vektoren auf diese Weise schreibe. Weitere Informationen zu Kovarianz und Kontravarianz finden Sie auf Wikipedia .
Oh, ok, ich sehe das nicht als umständlich, sondern völlig gerechtfertigt. Aber ich verstehe immer noch nicht, woher das Minus dazwischen kommt $\frac{dx^0}{d\tau}$ Und $-\frac{dt}{d\tau}$ denn für mich $x^0=t$ (Also wenn ich schreibe $g_{00}dx^{0}dx^{0}$ Ich bekomme $-c^2dt^2$ ).
@Vincent Ich bin mir nicht sicher, warum Sie ein Problem mit dem haben, was ich oben gesagt habe. Es scheint jedoch, dass Sie wirklich die Ableitung der Vierergeschwindigkeit aus der Metrik sehen möchten. Siehe Bearbeitung oben...

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