Warum wirkt Druck als Quelle für das Gravitationsfeld?

Das sagen Einsteins Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Die linke Seite ist der Einstein-Tensor und die rechte Seite ist proportional zum Spannungsenergietensor. Für niedrige Geschwindigkeiten ist die dominierende Komponente der Gleichung die$\mu\nu=00$(Zeit-Zeit-)Komponente, und es reduziert sich effektiv auf$\Delta \phi_{grav}=4\pi G\rho$, die Poisson-Gleichung für Newtons Gravitation, die das ganze Abstandsgesetz im Quadrat impliziert, und so weiter.

In der Relativitätstheorie ist die Energie jedoch nur eine Komponente eines 4-Vektors, des Energie-Impuls-Vektors, und die Dichte von irgendetwas ist nur eine (die zeitähnliche) von 4 Komponenten eines Vektors, der auch den Fluss als enthält 3 räumliche Komponenten.

Insbesondere die Masse oder Energiedichte$\rho$wird nur die Komponente$T_{00}$eines ganzen symmetrischen Tensors, der hat$4\times 3/2\times 1$Komponenten (in vier Dimensionen). Die Relativitätstheorie impliziert, dass sie alle gleich wichtig sind, weil sie sich durch die Lorentz-Transformationen ineinander verwandeln können.

Insbesondere der Druck erscheint als doppelt räumliche Komponente des Spannungs-Energie-Tensors. Typischerweise$T_{xx}=T_{yy}=T_{zz}=p$, der Druck. Bei Festkörpern enthält dieser Druck das Wort „Stress“ im Tensor – Stress ist eine Art Druck. Bei allen Materialien können Sie sich vorstellen, dass der Druck der Fluss des Materials ist$p_x$Komponente des Impulses in der$x$-Richtung - deshalb schiebt ein Gas oder eine Flüssigkeit eine Wand dahinter. In der Relativitätstheorie müssen alle diese Komponenten des Spannungs-Energie-Tensors zu den entsprechenden Komponenten des Einstein-Tensors (der Krümmung) beitragen.

Nun darf ich auf den kosmologischen konstanten Begriff zurückkommen. Es ist praktisch dasselbe wie ein Spannungsenergietensor mit$p=-\rho$, ein negativer Druck: Sie könnten ihn auf die rechte Seite legen. Eine solche Form gleichmäßiger Materiedichte mit Unterdruck verformt den Minkowski-Raum in einen immer noch "maximal symmetrischen" de Sitter-Raum: Staub ohne Druck wäre dazu nicht in der Lage.

Ich bin davon überzeugt, dass jede gültige – wenn auch qualitative – Erklärung, warum Druckkurven der Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie auf die eine oder andere Weise auf Einsteins Gleichungen hinauslaufen müssen.

Gruß LM

Ein Teil des Arguments kann begründet werden, ohne irgendeine "schwerhändige" allgemeine Relativitätstheorie zu verwenden, aber es ist ein langer Weg.

Teil 1: Relativistische Objekte werden mehr als von der Newtonschen Mechanik vorhergesagt zu Gravitationsquellen "gezogen" . Licht wird doppelt so stark gezogen. Dies erfordert die allgemeine Relativitätstheorie, siehe hier .

Teil 2 Druck entsteht durch den Austausch bewegter Teilchen . In einem idealen Gas erzeugen die sich bewegenden Teilchen Druck. In einem flüssigen Feststoff ist es komplexer. Es gibt Entartungsdruck und Anziehungskräfte , die es dem Objekt ermöglichen, in Spannung zu existieren. Dies ist auf den Austausch von virtuellen Photonen mit negativer Energie zurückzuführen.

Ein unter Druck stehendes System (z. B. ein heißes Gas) enthält sich bewegende Partikel, die eine „zusätzliche“ Gravitationsanziehung zu unserer Testmasse haben. Umgekehrt fühlt sich unsere Testmasse von diesen Partikeln besonders angezogen. Obwohl die kinetische Energie der Teilchen zur Gesamtmasse und damit zur Gravitation beiträgt, erzeugt der Druck über die Masse und kinetische Energie hinaus zusätzliche Gravitation .

Ein Beispiel : Stellen Sie sich einen dünnen hohlen sphärischen Spiegel vor, der mit Photonen gefüllt ist (wiederum arbeiten wir mit einer schwachen Gravitationsquelle). Wir platzieren eine Testmasse (die nicht mit Licht interagiert) direkt im Spiegel. Aufgrund des Schalensatzes müssen wir nur die winzige Menge an Masse/Energie berücksichtigen, die näher am Kugelmittelpunkt liegt als unsere Testmasse. Die Newtonsche Berechnung wäre G(our_mass)(energy_of_photons)/r^2, aber die tatsächliche Kraft ist aufgrund des Drucks doppelt so hoch. Befinden wir uns außerhalb des Spiegels, gilt wieder die Newtonsche Formel. Obwohl im Inneren Druck herrscht, gibt es Spannung in den Wänden des Spiegels, in Wirklichkeit ist er ein mit Photonen aufgeblasener Ballon! Die Druck- und Spannungsterme heben sich auf.Wenn Sie sich außerhalb eines kugelsymmetrischen Objekts befinden, zählt nur die Gesamtmasse und die Innendrücke heben sich immer auf .

Wenn der Druck auf die Gravitationsverdichtung zurückzuführen ist, können Sie der Relativitätstheorie des harten Kerns nicht entkommen, wenn Sie dies berücksichtigen möchten : Auf der Erde beträgt der Druckbeitrag zur Schwerkraft im Kern nur 1e-9 des Beitrags der Dichte (Masse). Dieser „winzige“ Druck wird nicht wie bei unserem Spiegelballon durch Spannung ausgeglichen. Um jedoch zu verstehen, warum es aufgehoben wird, müssten wir die allgemeine Relativitätstheorie im Volltiermodus aufrufen, da relativistische Effekte auch 1e-9 so stark sind wie die Newtonsche Schwerkraft für die Erde (nein, es ist kein Zufall, dass beide 1e-9 sind ). Der Druck ist im Vergleich zur Dichte nur dann wichtig, wenn P ~ (Dichte)c^2, und dass c^2 sogar den Druck im Erdkern klein erscheinen lässt.

Druck hat die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten und die Energie eines Systems zu verändern. Aus der Thermodynamik:

Ich werde ein weitgehend physikalisches Argument vorbringen.

Der Beitrag des Drucks zur Krümmung tritt auf, wenn die Bewegung der Moleküle relativistisch ist. Wenn Sie ein Gas mit einem bestimmten Druck haben, bedeutet dies, dass sich die Moleküle des Gases schnell bewegen. Der Impuls eines Moleküls$p~=~\gamma mv$wird von einer Wand kollidieren und der Wand einen gewissen Impuls verleihen. Gegeben eine Fläche$A~=~x^2$einer Wand in einer Kiste, wenn sie massiv genug ist, prallen die Moleküle mit Schwung zurück$p’~=~-\gamma mv$. Zum$N$Moleküle, die in einer Zeit auf die Wand aufprallen$\delta t$dies ist ein Netto-Impulstransfer$\delta p~=~2N\gamma mv$. Wir gehen davon aus$\delta t$ist die Zeit, die jedes Atom braucht, um sich zwischen den Wänden der Box zu bewegen$\delta t~=~x/v$. Auf diese Weise treffen innerhalb dieses Zeitintervalls fast alle Moleküle auf die Wände. Es gibt also eine Kraft

Für Kosmologien, in denen Galaxien als Teilchen behandelt werden, wird der Druck normalerweise auf Null gesetzt. Für das Innere eines kollabierenden Sterns wird der Druck ziemlich groß und trägt zur Quelle des Gravitationsfeldes bei.

Die MTW-Autoren stellen in ihrem Buch „Gravitation“ eine Übung (5.4) mit dem Titel Trägheitsmasse pro Volumeneinheit zur Verfügung. Es scheint, dass Druck aufgrund der Lorentz-Transformation eine Quelle der Trägheit (und damit der Schwerkraft) ist.