Spannungs-Energie-Tensor für ein perfektes Fluid in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Wir übernehmen das Einheitensystem, in dem die Lichtgeschwindigkeit 1 ist.

Komponenten des Spannungstensors$T^{\alpha\beta}$physikalisch bedeuten:$T^{00}$ist die Energiedichte,$T^{0j}$ist der Energiefluss über die Raumoberfläche$x_j=$konstant ($j=1,2,3$),$T^{i0}$ist die Dichte von$i$-te Impulskomponente und$T^{ij}$ist der$i$-te Komponente des Impulsflusses über die Raumfläche$x_j=$konstant ($i,j=1,2,3$). Normaler Impulsfluss ($T^{ij}$für$i=j$) verursacht eine normale Belastung des Fluidelements und die anderen ($T^{ij}$für$i\neq j$) verursachen eine Scherbeanspruchung des Fluidelements.

Eine ideale Flüssigkeit ist eine, deren Viskosität und Leitfähigkeit Null sind. Betrachten Sie ein elementares Volumen einer idealen Flüssigkeit in seinem MCRF (momentan mitbewegter Referenzrahmen). Da die Leitfähigkeit Null ist, gibt es keinen Energiefluss hinein oder heraus, was impliziert$T^{0j}=0$. Da es keine Viskosität gibt, erfährt es daher keine Scherspannungen$T^{ij}=0$Wenn$i\neq j$. Weiterhin ist die Aussage, dass die Flüssigkeit keine Viskosität hat, eine rahmenunabhängige Aussage, also$T^{ij}=0$Wenn$i\neq j$in jedem Bezugssystem, und so die Matrix$T^{ij}$muss in allen Referenzrahmen diagonal sein. Dies ist nur möglich, wenn$T^{ij}=p\delta^{ij}$in welchem$\delta^{ij}$ist der Identitätstensor und$p$ist ein Skalar namens Druck. Wenn wir die Energiedichte mit bezeichnen$\rho$, dann der Spannungstensor$T^{\alpha\beta}$im MCRF des Fluid-Elements ist:

$$\begin{bmatrix} \rho & 0 & 0& 0\\ 0 & p& 0& 0\\ 0 & 0& p& 0\\ 0 & 0& 0& p \end{bmatrix}$$ Dies kann vereinfacht werden als: $$\begin{bmatrix} \rho & 0 & 0& 0\\ 0 & p& 0& 0\\ 0 & 0& p& 0\\ 0 & 0& 0& p \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \rho+p & 0 & 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -p & 0 & 0& 0\\ 0 & p& 0& 0\\ 0 & 0& p& 0\\ 0 & 0& 0& p \end{bmatrix}\\ \Rightarrow\quad T^{\alpha\beta}=(\rho+p)(\mathbf{e}_0\mathbf{e}_0)^{\alpha\beta}+p\eta^{\alpha\beta}$$

in welchem$\eta^{\alpha\beta}$ist der metrische Tensor. Der Einheitsvektor in Zeitrichtung (der MCRF des Fluidelements)$\mathbf{e}_0$ist nichts als seine 4-Geschwindigkeit$\mathbf{U}$. Daher die dyadische$\mathbf{e}_0\mathbf{e}_0=\mathbf{U}\mathbf{U}$, dessen Komponente ist$(\mathbf{U}\mathbf{U})^{\alpha\beta}=U^\alpha U^\beta$. Somit haben wir:

$$T^{\alpha\beta}=(\rho+p)U^\alpha U^\beta+p\eta^{\alpha\beta}$$

Referenz: Allgemeine Relativitätstheorie von B. Schutz.