Spannungstensor: kovariant oder kontravariant?

Der Spannungstensor in der Kontinuumsmechanik (dh das Negative des Raum-Raum-Teils des Spannungsenergietensors in der Relativitätstheorie 1 ) nimmt die Form an:

(1) σ ich J = − P δ ich J + η ( ∂ v ich ∂ X J + ∂ v J ∂ X ich ) .
Wie der Name schon sagt, ist dies ein Tensor, aber ich bin mir nicht sicher, welche Art von Tensor und ich kann anscheinend keine Ressource finden, die mir sagt, und ich gehe davon aus, dass (1) nicht in Tensornotation geschrieben ist (dh korrekte Indexposition ). Daher lautet meine Frage: Wie schreiben wir den Spannungstensor (1) in tatsächlicher Tensornotation?

1 Stress-Energie-Tensor: Seine Beziehung zur Kraft?

Erhöhen Sie einfach die Indizes X J , X ich und du bist gut zu gehen
@AccidentalFourierTransform bist du sicher? Das mache ich mir seit dem Sorgen δ ich J Es ist nicht nötig 1 Wenn ich = J das wird die Dinge durcheinander bringen
Was? wie kann δ ich J nicht sein 1 Wenn ich = J ? was macht δ ich J bedeuten für dich?
Es ist ein kontravarianter Tensor, den Sie suchen (obere Indizes), und Sie haben die Elemente davon und nicht den vollständigen Tensor in Ihrem Beitrag.
@AccidentalFourierTransform Siehe diese physicalpages.com/2012/12/31/kronecker-delta-as-a-tensor
Höchstwahrscheinlich können Sie die Antwort nicht finden, weil die Ingenieure , die dieses Zeug tatsächlich verwenden , sich nicht darum kümmern, Dinge als kovariant oder kontravariant zu kennzeichnen - es kommt darauf an, die richtigen Operationen mit den Größen durchzuführen und ihnen keine beeindruckenden Namen zu geben. Die einzige Art, wie ich Ihre Gleichung (1) jemals schreiben würde, ist genau so, wie Sie sie geschrieben haben!
@Quantumspaghettification das ist eine schreckliche Notation. Es ist nicht das, was die Leute normalerweise meinen, wenn sie schreiben δ ich J .
mögliches Duplikat von physical.stackexchange.com/q/76048

Antworten (2)

  1. Es scheint, dass OP im Wesentlichen eine inkompressible Newtonsche Flüssigkeit auf einer Riemannschen 3-Mannigfaltigkeit betrachten möchte ( M , G ) (im Gegensatz zu beispielsweise einer perfekten relativistischen Flüssigkeit ).

  2. Als nächstes sollten wir lokale Koordinaten schreiben X ich mit einem oberen (im Gegensatz zu einem unteren) Index, wie der Benutzer AccidentalFourierTransform in einem Kommentar oben vorschlägt.

  3. Das Kronecker-Delta sollte durch den metrischen Tensor ersetzt werden, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

  4. Partielle Ableitungen ∂ ich sollten durch ( Levi-Civita ) kovariante Ableitungen ersetzt werden ∇ ich . Dieser Punkt 4 und der vorherige Punkt 3 wurden auch in der Antwort von Benutzer Chester Miller vorgeschlagen.

  5. Verwenden Sie den musikalischen Isomorphismus , um Indizes zu erhöhen und zu verringern v ich = G ich J v J auf dem inkompressiblen Geschwindigkeitsfeld, D ich v ( v ) = ∇ ich v ich = 0 .

  6. Dann beide Seiten von OPs Gl. (1) wird zu einem symmetrischen (0,2) kovarianten Tensor

    (1') σ ich J   =   − P G ich J + η ( ∇ ich v J + ∇ J v ich ) , P   =   − 1 3 G ich J σ ich J .

Die von Ihnen angegebene Gleichung wird in kartesischen Koordinaten ausgedrückt, wobei die Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Komponenten nicht besteht. Wenn Sie diese konstitutive Newtonsche Flüssigkeitsgleichung in Form der "tatsächlichen" Tensornotation ausdrücken möchten, müssen die partiellen Ableitungen auf der rechten Seite durch kovariante Ableitungen ersetzt werden, und das Kronecker-Delta muss durch die entsprechend indizierte Darstellung von ersetzt werden metrischer Tensor.

Ja, das ist in der Tat richtig. +1 [als kleiner Nitpick kann man anmerken, dass einige Leute in kartesischen Koordinaten festlegen X ich = − X ich , daher könnte die Unterscheidung relevant sein, abhängig von Konventionen]
Spannungstensor: kovariant oder kontravariant?
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