Herleitung der relativistischen Energieerhaltungsgleichung für ein perfektes Fluid

1- Ihre "Annahme" über die Kovarianz der Ableitungen von p ist richtig. Dies sind jedoch nur Grundlagen der Tensorrechnung, keine spezielle Annahme.

2-Das Projizieren eines Vektors/Tensors in verschiedene Richtungen ist eine in Mathematik und Physik weit verbreitete Praxis. Zum Beispiel sind Sie wahrscheinlich zuerst darauf gestoßen, als Sie in Physik 101 die Gravitationskraft auf einen Block auf einer schiefen Ebene zerlegt haben. Hier verwenden Sie einen Vektor$U_{\nu}$und einen Projektor auf einer orthogonalen Ebene zu$U$.

3- Sie vergessen den ersten Teil von RHS von Gl. 1.116. Gehen Sie Schritt für Schritt vor.

Lassen Sie uns die RHS von 1,116 mit multiplizieren$U_{\nu}$

$U_{\nu} RHS = U_{\nu}U^\mu U^\nu \partial_\mu (\rho+p)+ (\rho+p)(U_{\nu}U^\nu \partial_\mu U^\mu + U_{\nu}U^\mu \partial_\mu U^\nu ) + U_{\nu}\partial^\nu p$

Verwenden$U_{\nu} U^\nu =-1$

$-U^\mu\partial_\mu (\rho+p)+ (\rho+p)(-\partial_\mu U^\mu + U_{\nu}U^\mu \partial_\mu U^\nu ) + U_{\nu}\partial^\nu p$

Erinnere dich jetzt daran$U_{\nu} \partial_\mu U^\nu =0$(Gl. 1.117 in Carrol) als Folge der Konstanz von$U_{\nu} U^\nu =-1$. Also vereinfachen wir weiter

$-U^\mu\partial_\mu (\rho+p)+ (\rho+p)(-\partial_\mu U^\mu + 0 ) + U_{\nu}\partial^\nu p$

Erweitern Sie runde Klammern

$-U^\mu\partial_\mu \rho -U^\mu\partial_\mu p - \rho\partial_\mu U^\mu-p\partial_\mu U^\mu + U_{\nu}\partial^\nu p$

Nun, die zweite Amtszeit$-U^\mu\partial_\mu p$kann umgeschrieben werden als$-U^\nu\partial_\nu p$da die Mu's Dummy sind, und Sie können auch die Indizes nach oben / unten drehen, um sie zu erhalten$U_{\nu}\partial^\nu p$und mit dem letzten Term kündigen. Also bekommst du

$-U^\mu\partial_\mu \rho - \rho\partial_\mu U^\mu-p\partial_\mu U^\mu$

Kombinieren Sie nun die ersten beiden Terme (Anti-Leibnitz-Regel) und erhalten Sie die RHS von Gl. 1.118 in Karol

$- \partial_\mu( \rho U^\mu)-p\partial_\mu U^\mu$

Ich schlage vor, wenn Sie GR und Tensoren neu sind:

1- Fit werden mit "Index-Gymnastik"

2- Schauen Sie sich andere Bücher an (mein Favorit ist Gravitation alias MTW)

3- Erhalten Sie Zugriff auf/kaufen, verwenden und lernen Sie Wolfram Mathematica (Heim- oder Studentenversionen), vielleicht über Ihre Universität. Sie können dann ein kostenloses Paket namens xAct und seine kostenlose GUI namens xPrint (die ich geschrieben habe) erhalten. Dann ... werden Sie all dies und noch viel mehr im Handumdrehen erledigen. Mathematica ist meiner Meinung nach ein unverzichtbares Werkzeug für Physiker.