3-Divergenz des Vorticity-Vektors in GR

In Relativistic Cosmologies (Ellis, Maartens, MacCallum) behaupten die Autoren, dass (Seite 86, Abschnitt 4.7)

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i\dot{u}_i.\tag{A}$$ Hier $u_i$ist ein zeitartiges Vektorfeld, $\dot{u}_i := u_{i;j}u^j$ist die Beschleunigung und die Vorticity $\omega_{ij} := h_i{}^kh_j{}^\ell u_{[k;\ell]}$definiert wurde, wo $h^{ij} := u^iu^j + g^{ij}$ist der Projektionsoperator relativ zu $u^i$(spacelike Signaturkonvention) und Klammern zeigen Antisymmetrisierung an. Dann $\omega^i := -\frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk}$, Wo $\varepsilon^{ijk\ell}$ist der Levi-Civita-Tensor (bezeichnet mit $\eta^{ijk\ell}$im Buch). Endlich $\overline{\omega^i{}_{;j}} := h^i{}_kh_j{}^\ell \omega^k{}_\ell$.

Diese Gleichung$(A)$soll von der Ricci-Identität für abgeleitet werden$u_i$, aber aufgrund eines Tippfehlers ist mir unklar, wie genau. Beim Versuch, es zu reproduzieren, finde ich jedoch, dass die rechte Seite Null sein sollte. Mein Versuch folgt unten.

Aus den Definitionen, die wir haben$h^i{}_jh_i{}^k = u_ju^k + \delta_j{}^k = h_j{}^k$, woher

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i{}_{;i} + u_iu^j\omega^i{}_{;j}.$$ Die Wahl eines mitbewegten Rahmens, den wir bekommen $u_iu^j\omega^i{}_{;j} = \gamma^j{}_{ik}u_ju^k\omega^i = -\omega^i\dot{u}_i$, was eine allgemein kovariante Gleichung ist, woher $$\overline{\omega^i{}_{;i}} = \omega^i{}_{;i} - \omega^i\dot{u}_i. \tag{1}$$ Auch von der Definition, die wir haben $$\omega^i{}_{;i} = -\frac{1}{2}\left(u_{\ell;i}\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} + u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk;i}\right),$$ wobei wir die Tatsache ausgenutzt haben, dass der Levi-Civita-Tensor eine verschwindende kovariante Ableitung hat. Nun, da $u_{i;j} = \overline{u_{i;j}} - \dot{u}_iu_j$Wir müssen haben $u_{\ell;i}\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} = -\dot{u}_\ell u_i\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk} = u_i\varepsilon^{ijk\ell}\omega_{jk}\dot{u}_\ell$, So $$\omega^i{}_{;i} = \omega^i\dot{u}_i - \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell jki}\omega_{jk;i} \tag{2}$$

Schließlich von der Ricci-Identität für$u_i$($u_{i;[jk]} = \frac{1}{2}R_{i\ell kj}u^\ell$) durch einen Vertrag mit$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}$wir bekommen

$$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}R_{imkj}u^m = \frac{1}{2}u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}R_{mijk}u^m = 0,$$ durch die zyklische Identität (erste Bianchi-Identität), aber $u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{[i;j]k}$und da der Levi-Civita-Tensor dazu dient, orthogonal zu projizieren, haben wir $u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}u_{i;[jk]} = u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}\omega_{ij;k}$woher $$u_\ell\varepsilon^{\ell ijk}\omega_{ij;k} = 0. \tag{3}$$

Kombinieren$(1)$,$(2)$, Und$(3)$wir bekommen

$$\overline{\omega^i{}_{;i}} = 0. \tag{B}$$

Jedoch,$(A)$Und$(B)$scheinen sicherlich widersprüchlich zu sein. Sind sie vereinbar oder ist beides$(A)$oder$(B)$falsch? Ich kann anscheinend keinen Fehler in meinen Berechnungen finden.