Was stellt der Ricci-Tensor dar?

Es ist wichtig, zuerst den Ricci-Skalar zu betrachten. Ich habe hier ein Diagramm einer zweidimensionalen Kugel mit Radius eingefügt$r$. Vom Pol wird ein Vektor zum Äquator und zurück transportiert, so dass der Winkel bei$A$Ist$\pi/2$Teilen Sie nun den Winkel durch die Fläche des vom Paralleltransport umschlossenen Bereichs. Das ist$1/8^{th}$die Fläche der Kugel$4\pi r^2$Das Ergebnis ist die Ricci-Krümmung für die Region$R~=~1/r^2$das ist die skalare Ricci-Krümmung der Kugel. Im Allgemeinen definiert für einen parallelen Transport eines Vektors um eine Schleife die Winkelabweichung der Vektoren die Ricci-Krümmung als

$$R~=~\frac{\theta}{\cal A}.$$

Im Allgemeinen können wir uns den Ricci-Tensor als Folge der Abweichung von der Flachheit einer Metrik vorstellen, so dass

$$g_{\mu\nu}~=~\eta_{\mu\nu}~-~\frac{1}{3}R_{\mu\alpha\nu\beta}x^\alpha x^\beta~+~O(x^3),$$ Wo $\eta_{\mu\nu}$ist die Metrik für flache Raumzeit. Das metrische Volumenelement ist $\sqrt{det(g)}$oder oft geschrieben als $\sqrt{-g}$und das ist dann $$\sqrt{-g}~=~\left(1~-~\frac{1}{6}R_{\alpha\beta}x^\alpha x^\beta\right)\sqrt{-\eta}.$$ Dies bedeutet, dass der Ricci-Tensor mit der Änderung des Volumens eines Raumbereichs verbunden ist. Dies wird mit dem Weyl-Tensor verglichen, der einen volumenerhaltenden Diffeomorphismus definiert. Der Ricci-Tensor definiert dann einen Ricci-Fluss der Metrik $$\frac{dg_{ij}}{dt}~=~-2R_{ij}$$ In vier Dimensionen können wir uns dies als den Fluss einer räumlichen Metrik in Bezug auf die Zeit vorstellen. Dies hat auch Verbindungen zur konformen Struktur.

Meine naive Antwort, wie Sie bereits wissen, ist, den Ricci-Tensor zu erstellen, Sie beginnen mit dem Riemann-4-Index-Tensor, dann stellen Sie fest, dass Sie zur Beschreibung der Raumzeitkrümmung (nur) zehn Elemente auf dem Ricci-Tensor benötigen. Wenn Sie Glück haben, erhalten Sie eine Metrik, die auf dem 4-D-Raum basiert. Der Tensor lässt sich unterteilen in den Weyl-Tensor, der die Gezeitenkraft ausdrückt, die ein Körper spürt, wenn er sich entlang einer Geodäte bewegt, und den Ricci-Tensor. Das Verschwinden des Weyl-Tensors ist die Bedingung für konforme Ebenheit des von ihm umfassten Raums.

Aus: Ricci und Weyl Tensors

Die Ricci-Krümmung oder Spurkomponente des Riemann-Tensors enthält genau die Information darüber, wie sich Volumina in Gegenwart von Gezeitenkräften ändern, sodass der Weyl-Tensor die spurlose Komponente des Riemann-Tensors ist. Es ist ein Tensor, der die gleichen Symmetrien wie der Riemann-Tensor hat.

Die Ricci-Krümmung führt zu einer Vergrößerung, während die Weyl-Terme Astigmatismus liefern. Es verwandelt Kreise in Ellipsen. Der Ricci-Tensor erzeugt Volumenvergrößerungseffekte.

Schauen Sie sich Bilder von Gravitationslinsen (Einstein-Linsen) weit entfernter Galaxien an, um die physikalischen Effekte zu sehen.

Sie können auch Folgendes lesen: Bedeutung der Ricci-Krümmung , die möglicherweise ein Duplikat ist.

Von: Ricci Tensor erklärt empfohlene Lektüre.

Angenommen, anstatt zwei kleine Objekte im Raum zu betrachten, betrachten wir eine volumenfüllende Sammlung kleiner Objekte im Raum. Die Beschreibung der relativen Beschleunigung von zwei beliebigen von ihnen würde die geodätische Abweichungsgleichung erfordern, aber um die Entwicklung ihres Volumens zu beschreiben, müssten wir über mehrere verschiedene Versionen der Gleichung mitteln. Diese haben ungefähr das Ergebnis einer Mittelung des Riemann-Tensors zu einem Ricci-Tensor. In ungefähr dem gleichen Sinne, in dem der Riemann-Tensor die Entwicklung eines Vektors oder einer Verschiebungsparallele regelt, die sich entlang einer Geodäte ausbreitet, regelt der Ricci-Tensor die Entwicklung einer Parallele mit kleinem Volumen, die sich entlang einer Geodäte ausbreitet. Wir müssen jedoch vorsichtig sein. Im Gegensatz zu Vektoren können sich Volumen entlang Geodäten sogar in einem flachen Raum ändern. Wir müssen daher jede Änderung abziehen, die im flachen Raum auftreten würde.

Ich werde hier aufhören, da es noch viel mehr Leute gibt, die Ihre Frage beantworten können, ohne Ihnen falsche Informationen zu geben.