Welche physikalische Bedeutung haben der Zusammenhang und der Krümmungstensor?

Der einfachste Weg, das Christoffel-Symbol zu erklären, besteht darin, sie im flachen Raum zu betrachten. Normalerweise ist der Laplace-Operator eines Skalars in drei flachen Dimensionen:

$$\nabla^{a}\nabla_{a}\phi = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}$$

Aber das ist nicht der Fall, wenn ich von der wechsle$(x,y,z)$Koordinatensystem in Zylinderkoordinaten$(r,\theta,z)$. Jetzt wird der Laplace zu:

$$\nabla^{a}\nabla_{a}\phi=\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial \theta^{2}}\right)+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}-\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)$$

Das Wichtigste, das Sie beachten sollten, ist der letzte Term oben – Sie haben jetzt nicht nur zweite Ableitungen von$\phi$, aber Sie haben jetzt auch einen Term mit einer ersten Ableitung von$\phi$. Genau das tut ein Christoffel-Symbol. Im Allgemeinen lautet der Laplace-Operator:

$$\nabla_{a}\nabla^{a}\phi = g^{ab}\partial_{a}\partial_{b}\phi - g^{ab}\Gamma_{ab}{}^{c}\partial_{c}\phi$$

Im Fall von Zylinderkoordinaten kodiert der zusätzliche Term die Tatsache, dass das Koordinatensystem nicht homogen ist, in den Ableitungsoperator – Oberflächen bei konstant$r$weit vom Ursprung entfernt viel größer sind als in der Nähe des Ursprungs. Im Fall eines gekrümmten Raums (Zeit) erklären die Christoffel-Symbole die Inhomogenitäten / Krümmungen / was auch immer des Raums (Zeit) selbst.

Was die Krümmungstensoren angeht – sie sind Kontraktionen voneinander. Der Riemann-Tensor ist einfach ein Antikommutator von Ableitungsoperatoren -$R_{abc}{}^{d}\omega_{d} \equiv \nabla_{a}\nabla_{b}\omega_{c} - \nabla_{b}\nabla_{a} \omega_{c}$. Es misst, wie sich die parallele Übersetzung eines Vektors/einer Eins-Form unterscheidet, wenn Sie in Richtung 1 und dann in Richtung 2 oder in umgekehrter Reihenfolge gehen. Der Riemann-Tensor ist jedoch unhandlich, da er vier Indizes hat. Es stellt sich jedoch heraus, dass es auf den ersten beiden und den letzten beiden Indizes antisymmetrisch ist, sodass es tatsächlich nur eine einzige Kontraktion (Kontraktion = Multiplizieren mit dem metrischen Tensor und Summe über alle Indizes) gibt, die man darauf machen kann,$g^{ab}R_{acbd}=R_{cd}$, und dies definiert den Ricci-Tensor. Der Ricci-Skalar ist nur eine weitere Kontraktion davon,$R=g^{ab}R_{ab}$.

Nun, aufgrund der Speziellen Relativitätstheorie wusste Einstein bereits, dass Materie durch einen Tensor mit zwei Indizes dargestellt werden musste, der die Drücke, Strömungen und Dichten der Materieverteilung kombinierte. Diese Materieverteilung sollte, sofern physikalisch sinnvoll, auch eine Kontinuitätsgleichung erfüllen:$\nabla_{a}T^{ab}=0$, die im Grunde besagt, dass Materie in der Verteilung weder erzeugt noch zerstört wird und dass die zeitliche Änderungsrate eines Stroms der Druckgradient ist. Als Einstein seine Feldgleichungen aufschrieb, wollte er, dass aus dem metrischen Tensor eine Größe erzeugt wird, die auch dies erfüllt (nenn es$G^{ab}$) gleich zu setzen$T^{ab}$. Aber das bedeutet das$\nabla_{a}G^{ab} =0$. Es stellt sich heraus, dass es nur eine solche Kombination von Begriffen gibt, die erste und zweite Ableitungen des metrischen Tensors beinhalten:$R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} + \Lambda g_{ab}$, wo$\Lambda$ist eine beliebige Konstante. Das hat Einstein also für seine Feldgleichung ausgewählt.

Jetzt,$R_{ab}$hat die gleiche Anzahl von Indizes wie der Spannungs-Energie-Tensor. Also, eine handgewellte Art zu sehen, was$R_{ab}$bedeutet, dass es Ihnen den "Teil der Krümmung" sagt, der von der Anwesenheit von Materie herrührt. Wo bleiben dabei die restlichen Komponenten aus$R_{abc}{}^{d}$auf welche$R_{ab}$hängt nicht ab? Nun, der einfachste Weg (nicht VOLLSTÄNDIG korrekt, aber am einfachsten) ist, diese Teile der Krümmung zu nennen, die von der Dynamik des Gravitationsfeldes selbst abgeleitet sind – eine leere Raumzeit, die beispielsweise nur Gravitationsstrahlung enthält, wird genügen$R_{ab}=0$werde aber auch haben$R_{abc}{}^{d}\neq 0$. Gleiches gilt für eine Raumzeit, die nur ein Schwarzes Loch enthält. Diese zusätzlichen Komponenten von$R_{abc}{}^{d}$geben Ihnen die Informationen über die Gravitationsdynamik der Raumzeit, unabhängig davon, welche Materie die Raumzeit enthält.

Das wird lang, also belasse ich es dabei.

Die Verbindung hat eine physikalische Bedeutung – es ist das Gravitationsfeld. Die Metrik ist das Gravitationspotential.

Die Tatsache, dass die Christoffel-Symbole keine Tensoren sind, ändert nichts an ihrer Bedeutung. Sie können an jedem Punkt durch eine Koordinatentransformation zum Verschwinden gebracht werden, aber in GR bedeutet dies nur, dass Sie das Gravitationsfeld zum Verschwinden bringen können, indem Sie einen frei fallenden Koordinatenrahmen wählen. Das ist eine physikalische Aussage über das Gravitationsfeld.

Das Transformationsgesetz für Christoffel-Symbole ist gut definiert, und eine Möglichkeit, über das mathematische Konzept der abstrakten Verbindung nachzudenken, besteht darin, zwei verschiedene Symbolbeschreibungen zu identifizieren, wenn sie sich nur durch Koordinatentransformation unterscheiden. Die abstrakte Verbindung hat keinen Wert an einem Punkt, aber Holonomiewerte auf Schleifen.

In einer allgemein kovarianten Theorie gibt es keine lokal eichinvarianten Observablen, also müssen Sie sich mit koordinatentransformierenden Dingen wie dem metrischen Tensor und der Verbindung begnügen.

Beachten Sie, dass Christoffel-Symbole keine physikalische Bedeutung haben, da sie keine Tensoren sind. Es ist immer möglich, lokale Koordinaten so zu wählen, dass alle$\Gamma$verschwinden.

Aber ihre mathematische Bedeutung ist, dass sie einen Pseudotensor bilden. Technisch gesehen, wenn wir zwei kovariante Ableitungen haben$\nabla_1$und$\nabla_2$dann ihre Differenz$\Gamma := \nabla_1 - \nabla_2$erfüllt einige nette mathematische Eigenschaften (nämlich, dass es sich um einen ultralokalen Operator handelt), und daher ist seine Wirkung auf jedes Objekt nur lokal und kann durch einen Tensor dargestellt werden.

Zum$\nabla_1$normalerweise nehmen wir die kovariante Ableitung, an der wir interessiert sind (z. B. eine metrische kovariante Ableitung mit verschwindender Torsion, die durch einen metrischen Tensor induziert wird$g$). Zum$\nabla_2$Es gibt zwei allgemeine (und weit verbreitete) Möglichkeiten. Man kann entweder kovariante kovariante Ableitung verwenden$\partial$(was den Koordinatenvektor vernichtet${\partial \over \partial x}$und Covektorfelder${\rm d} x$und dies gibt den üblichen Ausdruck$\nabla = \partial + \Gamma_{Christoffel}$. Die andere Wahl (die die vorherige verallgemeinert) ist eine kovariante Ableitung$\bar \partial$was eine Tetrade vernichtet$e$(Im vorigen Fall hatten wir die Tetrade${\rm d} x$was sehr spezifisch ist; für die allgemeine Tetrade müssen keine zugehörigen Koordinaten existieren). Dies führt zum Tetradenformalismus und man schreibt$\nabla = \bar \partial + \gamma$wo$\gamma$sind Ricci-Rotationskoeffizienten.

Der Riemann-Tensor ist wiederum eine tensorielle Darstellung eines ultralokalen Operators, nämlich des Krümmungsoperators$R(u, v)$. Dies ist eine Blackbox, die zwei Vektorfelder (als Richtung gedacht) nimmt und einen ultralokalen Operator zurückgibt, der Ihnen sagt, wie stark sich der Raum entlang dieser Richtungen krümmt. Genauer gesagt sagt es Ihnen, was mit einem Vektor passiert, wenn Sie ihn entlang des infinitesimalen Polygons parallel transportieren$0 \to u \to u+v \to v \to [u,v] \to 0$; es kann als Quadrat betrachtet werden, außer dass die beiden Felder nicht geschlossen werden müssen und dies durch ihren Kommutator gemessen wird$[u, v]$. Sie können es also ausdrücken als$R(e_a, e_b) e_c = {R_{abc}}^d e_d$und Sie erhalten den üblichen Riemann-Tensor.

Wegen der (a)Symmetrie des Riemann-Tensors sind nun zwei unäquivalente Kontraktionen möglich. Eine davon ist die Spur${R_{abc}}^c$und dies kann trivialerweise als Null für den Riemann-Tensor angesehen werden, der von der Levi-Civita-Verbindung abgeleitet ist (allgemeiner für Verbindungen, die Volumenelemente bewahren). Die andere Kontraktion,${R_{abc}}^a$ergibt den Ricci-Tensor. Dies wird für die Levi-Civita-Verbindung symmetrisch sein (weil die Spur des Riemann-Tensors Null ist und weil die Torsion verschwindet).

Eine nützliche (allerdings ziemlich mathematische) Ansicht des Ricci-Tensors ist als "Laplace der Metrik".$R_{ij} \sim -{1 \over 2}\Delta g_{ij}$und durch eine Analogie zu Wärmeströmen bezieht sich dies auf Ricci-Ströme, die ein grundlegendes Werkzeug sind, das beim Studium der Poincaré-Vermutung verwendet wird.

Die geometrische Bedeutung des Ricci-Tensors ist nun, dass er die Verformung des Volumenelements in normalen geodätischen Koordinaten misst. Dies sind Koordinaten, die Sie um jeden Punkt erhalten können, wenn Sie die Nachbarschaft durch geodätische Flüsse parametrisieren. Der Ricci-Tensor misst also, wie Geodäten dazu neigen, dichter oder spärlicher um einen Punkt in einer bestimmten Richtung zu werden. Denken Sie darüber nach, wie eine Kugel mit positiver Krümmung weniger Volumen hat, weil ihre Geodäten konvergieren (es sind die großen Kreise auf der Kugel) als ein hyperbolischer Raum mit negativer Krümmung, wo Geodäten divergieren (es gibt unendlich viele gerade Linien parallel zu einer bestimmten Linie). Insbesondere verhalten sich Ricci-Flat-Mannigfaltigkeiten (die die Lösungen der Vakuum-Einstein-Gleichungen mit einer kosmologischen Konstante von Null sind) in dieser Hinsicht wie der übliche euklidische Raum.

Es gibt noch viel mehr zu diesen Themen zu sagen, aber ich hoffe, dass dies zumindest ein wenig hilfreich für Sie sein wird.

Was die „physikalische Bedeutung“ von Christoffel-Symbolen betrifft, so haben sie in gewisser Weise keine physikalische Bedeutung, da die Informationen, die sie codieren, nicht wirklich Informationen über die Krümmung des Raums sind, sondern über die Geometrie des Koordinatensystems, das Sie verwenden. wieder verwenden, um den Raum zu beschreiben.

Als Intuition über sie codieren sie, wie stark sich die Basisvektorfelder für infinitesimale Änderungen der verwendeten Koordinaten ändern. Aus diesem Grund ist es in einem flachen Raum (dh lokal) immer möglich, sie zu Null zu machen: Transformieren Sie in ein Koordinatensystem, in dem sich die Basisvektorfelder von Punkt zu Punkt nicht ändern.

Um zu wissen, wie sich die Raumzeit krümmt, können Sie sich ansehen, wie sich die metrische Funktion von Punkt zu Punkt ändert. Um dies zu sehen, können Sie sich ansehen, wie sich die Basisvektoren von Punkt zu Punkt ändern (da die Metrik vollständig durch die Basisvektoren bestimmt wird). Dies ist die Information, die das Christoffel-Symbol codiert.