Unterschied zwischen Krümmung und Ricci-Skalarkrümmung?

Ihre Formel$\tau = \frac{dt}{ds}$bedarf einer Korrektur, nämlich$t$ist nicht irgendein alter Tangentenvektor, sondern ist stattdessen der Einheitslängen -Tangentenvektor. Auch dieser Begriff der Krümmung, der als "geodätische Krümmung" bekannt ist, gilt nur für Kurven (1-dimensionale Objekte) im Raum, wobei der eine Parameter ist$s$.

Andererseits gilt die Ricci-Krümmung nur für zwei- oder höherdimensionale Objekte im Raum.

Für einen direkten Vergleich zwischen diesen beiden Krümmungsarten werden Sie also nicht viel finden.

Dennoch gibt es in einigen begrenzten Situationen einige indirekte Vergleiche. Eine besonders enge Verbindung tritt bei einer 2-dimensionalen Oberfläche auf$S$im dreidimensionalen Raum. Die Ricci-Krümmung an einem Punkt$P \in S$ist gleich der Gaußschen Krümmung (weil es in 2 Dimensionen in der von Ihnen angegebenen Kontraktionsformel nichts zu kontrahieren gibt). Und die Gaußsche Krümmung ist gleich dem Produkt von zwei verschiedenen geodätischen Krümmungen, nämlich den sogenannten "Hauptkrümmungen", die die maximalen und minimalen Werte von sind$\tau$für durchfahrende Kurven$P$.