Was ist die Idee hinter dem Riemann-Krümmungstensor?

Die Idee ist, dass wir einen Begriff der Krümmung für eine Mannigfaltigkeit definieren wollen , der intuitiv mit der Intuition übereinstimmt, die wir über die Krümmung haben.

Die geniale Erkenntnis, die zur gewünschten Definition führt, ist der Begriff des parallelen Transports . Um es hier nicht streng auszudrücken, die Grundidee ist, dass, wenn Sie einen Tangentenvektor auf einer Mannigfaltigkeit parallel zu sich selbst den ganzen Weg um eine geschlossene Kurve herum transportieren, der Vektor in flachen Räumen zu sich selbst zurückkehrt, aber er wird zu einem anderen Vektor in einem gekrümmten Raum.

Um zu verstehen, warum der Begriff des parallelen Transports irgendetwas mit der Krümmung zu tun hat, denken Sie zum Beispiel an die euklidische Ebene$\mathbb R^2$gegenüber der zweidimensionalen Kugel$S^2$.

Betrachten Sie die Kurve, die aus einem gleichseitigen Dreieck mit einem Eckpunkt im Ursprung besteht. Stellen Sie sich nun vor, einen Vektor zu platzieren, der vom Ursprung ausgeht, und stellen Sie sich vor, diesen Vektor entlang des Dreiecks zu bewegen, seinen "Schwanz" auf dem Dreieck zu halten und sicherzustellen, dass der Vektor die ganze Zeit parallel zu sich selbst bleibt. Transportiert man auf diese Weise den Vektor einmal um das Dreieck zurück zum Ursprung, dann erhält man denselben Vektor zurück.

Etwas völlig anderes passiert, wenn Sie dasselbe auf der Kugel tun, wie das folgende Diagramm von der Wiki-Seite zum parallelen Transport zeigt

Wenn Sie einen Vektor von Punkt A entlang der im Diagramm angezeigten Kurve zu sich selbst zurückbewegen, kehrt der Vektor nicht zu sich selbst zurück. Dies geschieht, weil die Kugel gekrümmt ist.

Tatsächlich kann der Begriff des parallelen Transports verwendet werden, um vollständig zu charakterisieren, was wir unter Krümmung verstehen. Die Logik, die Sie in vielen Büchern über GR und Differentialgeometrie finden, ist ungefähr wie folgt:

1. Definieren Sie den Begriff einer Verbindung (im Grunde definiert dies, was Sie unter Ableitungen der Mannigfaltigkeit verstehen).

2. Verwenden Sie die Verbindung, um den Begriff des parallelen Transports zu definieren, der mit unserer Intuition des parallelen Transports beispielsweise im obigen Sphärenbeispiel übereinstimmt.

3. Zeigen Sie, dass es einen Tensor gibt, der genau misst, wie stark sich die Komponenten eines Vektors ändern, wenn er parallel entlang einer kleinen geschlossenen Kurve auf der Mannigfaltigkeit transportiert wird.

4. Nennen Sie diesen Tensor den Riemann-Tensor und verwenden Sie ihn als das Objekt, das den Begriff der Krümmung erfasst.

Darüber wird in vielen Büchern ausführlich diskutiert. Ich persönlich mag die Diskussion auf den Seiten 36-38 von Walds Allgemeiner Relativitätstheorie .

Nachtrag. Wald zeigt dies tatsächlich, wenn Sie eine Kurve betrachten, die einen kleinen zweidimensionalen Fleck begrenzt, der durch Koordinaten parametrisiert ist$s$Und$t$auf der gegebenen Mannigfaltigkeit, dann die Änderung$\delta v^a$in den Komponenten eines entlang der Grenze dieses Patches transportierten Vektors erfüllt

Einzelheiten finden Sie in der Antwort von Joshphysic. Ich möchte einige "Übersichts"-Kommentare hinzufügen. Die wesentlichen Grundgedanken hier sind:

1. Abweichung von Euklids Parallelpostulat (siehe Wiki-Seite "Parallelpostulat") ;
2. Wie "schlecht" Vektorfelder in der fraglichen Mannigfaltigkeit nicht integrierbar sind (siehe Vorwort zur Wiki-Seite zu "Riemann Curvature Tensor" ) in eine Isometrie mit einer echten euklidischen Mannigfaltigkeit (dh$\mathbb{R}^N$)

Die Abweichung in (1) ist genau dann Null, wenn der Krümmungstensor und der Torsionstensor verschwinden. Die Abweichung in (2) wird durch den Krümmungstensor wie in der Antwort von Joshphysics durch seine "Nicht-Holonomie" gemessen, dh wie stark ein paralleler Transport eines Testvektors um eine kleine Schleife geteilt durch die "Fläche" dieser Schleife variiert. Der fundamentale Satz der Riemannschen Geometrie zeigt, dass wir immer eine eindeutige Verbindung (die Levi-Civita-Verbindung) definieren können, die die Torsion in die Krümmung aufnimmt, so dass beide obigen Konzepte vollständig angesprochen werden$\mathbf{R}(X,Y)$. Die meisten GR sind mit dieser Wahl fertig, daher wird Torsion nicht viel diskutiert. Aber es lohnt sich trotzdem, darüber nachzulesen, wenn Sie etwas über Krümmung lernen. Torsion spielt eine grundlegende Rolle in der Einstein-Cartan-Theorie, aber ich lasse hier nur Namen fallen, da ich wie Sergeant Schultz nichts darüber weiß - dies ist ein zukünftiges intellektuelles Projekt für mich.

Die Wald-Referenz von Joshphysic ist gut, ich mag auch die Behandlung der Ideen von Schutz, wie sie in Kapitel 6 seiner "Geometrical Methods of Mathematical Physics" angegeben sind . Seine neueste Version von „A First Course in General Relativity“ behandelt diese Konzepte ein wenig, da er einiges Material in sein Buch „Geometrical Methods“ verschieben musste, um Platz für Diskussionen über experimentelle GR zu machen, was ein spannendes Gebiet ist im Augenblick.

Schauen Sie sich nebenbei einige schöne Diagramme an, siehe diese Antwort, die Bakhoda für mich auf Maths SE geschrieben hat.

Wenn Sie bereit sind, ein wenig Arbeit zu leisten, können Sie sich Kapitel 14 von Roger Penroses „Road to Reality“ (genannt „Calculus on Manifolds“) zuwenden. Wenn Sie dies einfach lesen, erhalten Sie ein gutes Verständnis auf höchster Ebene Wenn Sie zurückgehen und alle Übungen machen, wird Ihr Verständnis ziemlich gründlich sein – obwohl dies ein ziemliches Projekt ist.

Eine weitere grundlegende Beschreibung dieser Ideen findet sich in Kapitel 3 von Wulf Rossmanns „Vorlesungen über Differentialgeometrie“ . Sie können von dort herunterladen: Rossmann ist ein mathematischer Feynman – er arbeitet unermüdlich daran, die klarsten und elementarsten Beschreibungen der Dinge zu finden.

Für eine weitere Lektüre mit einem Penrose-ähnlichen Geschmack mit den großartigsten und liebevollsten Diagrammen, die Sie je gesehen haben, sind die relevanten Teile von Misner, Thorne und Wheeler gut, aber dies ist ein monströser Band, und ich habe ihn nicht vor mir, damit ich es kann Ich sage dir nicht, wo du es finden kannst. Aber es sollte ziemlich offensichtlich sein, wenn Sie eine Kopie in die Hände bekommen.

Ich dachte, ich würde einen etwas anderen Ansatz wählen, um das Obige in Bezug auf einen ersten Kurs in Vektorrechnung zu formulieren.

Angenommen, Sie haben eine Kurve$\vec{r}(t)$In$R^3$. Es kann eine gerade Linie, ein Kreis, eine Spirale, eine Zykloide usw. sein.

Sie können jedem Punkt auf einer Kurve mit gutem Verhalten einen Einheits-Tangens-Vektor zuordnen$\hat{T}=\frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{|\frac{d\vec{r}}{dt}|}$

Im Gegenzug können Sie eine Einheit normal haben, so dass ,$\kappa(t) \hat{N}=\frac{d\hat{T}}{dt}$Wo$\hat{N}$ist die Einheit normal und$\kappa$ist die Krümmung,

und Einheitsbinormalvektor$\hat{B}=\hat{N}\times\hat{T}/|\hat{N}\times\hat{T}|$

Das lässt sich zeigen$d\hat{B}/dt=-\tau\hat{N}$Wo$\tau$ist Torsion.

Unter Verwendung der Kettenregel$\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{ds}\frac{ds}{dt}$Wo$ds$unendlich kleine Bogenlänge ist. Es wird normalerweise angenommen$ds/dt=1$um die Mathematik einfacher zu halten. Es hat auch einige interessante physikalische Implikationen in Bezug auf Pseudokräfte, die helfen können, ein intuitives Verständnis der Gravitationseffekte eines gekrümmten Raums zu vermitteln.

Krümmung ist definiert als$\kappa(t)=\frac{d\theta}{ds}$Wo$d\theta$ist ein Maß für die infinitesimale Änderung in Richtung des Einheits-Tangentenvektors und wieder$ds$ist die infinitesimale Bogenlänge.

$\hat{N}, \hat{B}$, Und$\hat{T}$bilden eine orthonormale, kurvenzentrische Basis. Bestimmte Beziehungen zwischen ihnen gelten unabhängig davon, wie sich Ihre Koordinaten ändern, wenn die Kurve um die z-Achse gedreht, über eine Ebene gespiegelt oder an eine andere Stelle verschoben wird$R^3$. Dazu gehören Krümmung, Scheitelpunkte und andere geometrische Merkmale.

A$d\theta$wird durch die Änderung eines beliebigen Einheitsvektors impliziert. Vektoren, die sowohl die Größe als auch die Richtung darstellen, lassen bei konstanter Größe nur eine Richtungsänderung zu, die als Winkeländerung dargestellt werden kann. Hier stehen 3 Einheitsvektoren zur Auswahl, also sind 3 möglich$d\theta$S. Die Ableitungen dieser Einheitsvektoren sind Vektoren, die selbst als diese Vektoren ausdrückbar sind: Frenet-Seret-Krümmungsbeziehungen

Beachten Sie in diesen Gleichungen, dass die Ableitung der Vektoren auf der linken Seite eine Linearkombination der Vektoren auf der rechten Seite ist. Wenn wir einen Spaltenvektor aus den Basisvektoren hätten$T_{ij}=<\vec{N},\vec{B},\vec{T}>$, die Ableitung dieses Spaltenvektors in Bezug auf$ds$wäre eine "Matrix"$M$multipliziert mit$T_{ij}$. Der doppelte Index wird benötigt, weil$i$wählt aus, welcher der 3 Vektoren uns wichtig ist, und$j$stellt dar, an welcher Komponente dieses Vektors wir interessiert sind.

So$\frac{dT_{ij}}{ds}=M\cdot T_{ij}$ist eine sehr kompakte Form der Frenet-Serret-Gleichungen. Sie stellt die Krümmung dar, indem sie Informationen über die Ableitungen der Einheitsvektoren gibt.

Grob gesagt ist diese 2-indizierte Entität (genannt Rang-2-Tensor) ein Vektor von Vektoren oder ein verschachtelter Vektor. Also, in einem ähnlichen Sinne, ist eine Matrix. Sie tauchen überall auf, zum Beispiel gibt es den Maxwell-Spannungstensor im Elektromagnetismus oder den Spannungstensor in den Materialwissenschaften.

Ein Vektorfeld ist mit Punkten verbunden$R^n$ein weiteres Element hinein$R^n$.

In nichtkartesischen Koordinatensystemen können sich Einheitsvektoren von Punkt zu Punkt ändern. Dies bedeutet, dass sie Ableitungen ungleich Null haben, was ein gewisses Konzept der Krümmung im Spiel impliziert. Das wiederum bedeutet, dass sich ihre Bestandteile verändern.

$\Gamma^a_{bc}=$Die$ath$Bestandteil der Koordinate$c$Ableitung des Einheitsvektors$b$. Zum Beispiel in sphärischen Koordinaten,$\Gamma^r_{\theta \theta}=\frac{-1}{r}$Dies sind Christofel-Symbole der zweiten Art.

Die Christofel-Symbole haben ihre eigenen Ableitungen, die auch Auswirkungen auf die Krümmung haben.

Die Krümmung kann also nach Christofel-Symbolen und ihren Ableitungen kategorisiert werden. Während Matrixelemente als Zeilen-/Spaltenpaare bezeichnet werden, benötigen wir für Christofel-Symbole, welche Komponente welcher Ableitung welchen Vektors angegeben werden soll, was 3 Indizes impliziert. (Obwohl 3 Indizes erforderlich sind, ist es selbst kein Tensor, aber das kann verschoben werden). Das Ableiten eines Tensors erzeugt einen Tensor mit einem zusätzlichen niedrigeren Index. Der Rang ist die Anzahl der Indizes eines Tensors. Die Ableitung des Christofel-Symbols hat also Rang 4.

Beachten Sie, dass der Riemann-Krümmungstensor den Rang 4 hat. Beachten Sie auch die Form, die er annimmt, und vergleichen Sie ihn mit dem Ausdruck der Krümmung für eine implizite Kurve: Curvature of implicit Curve . Sie werden feststellen, dass die formelleren Behandlungen Kurven verwenden, um die Prinzipien zu veranschaulichen, die im Spiel sind, und im Grunde von den primitiven Konzepten der Krümmung einer Kurve auf die Krümmung eines Verteilers verallgemeinern.

Dies war nicht besonders streng, hilft aber hoffentlich dabei, eine Intuition für die Konzepte im Spiel zu entwickeln.

Die Krümmung ist ein so wichtiges Konzept in Mathematik und Physik, dass es eine ganze Reihe von Denkweisen darüber gibt. Die älteste ist die Gaußsche Krümmung und die modernste verwendet Konzepte in Vektor- und Hauptbündeln.

Gaußsche Krümmung

Beginnen wir mit der einfachsten Kurve. Dies ist die gerade Linie und offensichtlich sollte die Krümmung Null sein, das heißt, sie hat keine Krümmung. Die nächsteinfachste Kurve ist der Kreis. Es ist hier am einfachsten, weil es 1d ist und welche Krümmung wir ihr auch zuweisen, wir können sehen, dass diese Krümmung an allen Punkten des Kreises gleich ist.

Die Frage ist, welche Krümmung sollen wir ihr zuweisen? Einem Kreis ist nur eine Zahl zugeordnet, und das ist der Radius. Natürlich gibt es andere Zahlen, die mit dem Kreis verbunden sind, wie seine Fläche oder sein Umfang, aber diese sind alle vollständig vom Radius abhängig. Das offensichtliche Maß für die Krümmung, das wir nehmen können, ist einfach der Kehrwert der Krümmung, also 1/r . Wir sehen, dass, wenn der Radius auf unendlich zunimmt, die Krümmung gegen Null geht. Und das macht Sinn, weil sich der Kreisbogen an diesem Punkt einer Geraden annähert.

Jetzt können wir sehen, wie man die Krümmung einer beliebigen Kurve auswertet. Wir wählen einen Punkt und passen einen Kreis an diesen Punkt an, der ihn gewissermaßen tangiert, und dann sagen wir, die Krümmung der Kurve ist die Krümmung des Kreises, den wir daran angepasst haben.

Die nächste zu behandelnde Frage ist, wie man die Krümmung einer Fläche an einem Punkt p auswertet . Nun, wir nehmen ein Flugzeug durch die Oberfläche dort. Dadurch erhalten wir eine Kurve und wir können die Krümmung dieser Kurve nehmen. Diese Ebene war jedoch willkürlich, also nehmen wir jede Ebene durch diesen Punkt und bewerten die Krümmung jeder Kurve, die sich daraus ergibt. Offensichtlich gibt es ein Minimum und ein Maximum dieser Krümmungen und sie werden Hauptkrümmungen genannt,$\kappa_1, kappa_2$. Die Gaußsche Krümmung ist ihr Produkt,$\kappa_1, kappa_2$. Was Gauß nun herausfand, ist, dass diese Krümmung der Oberfläche eigen ist und nicht davon abhängt, wie die Oberfläche in den Raum eingebettet ist. Das beeindruckte ihn so sehr, dass er es Theorem Egregium (das bemerkenswerte Theorem) nannte. Er war zu Recht beeindruckt, denn es ist diese in vielerlei Hinsicht verallgemeinerte Eigenschaft der Gaußschen Krümmung, die das moderne Konzept und insbesondere Einsteins GR und darüber hinaus in der Teilchenphysik beeinflusst: Alle Kräfte im Standardmodell - die elektromagnetischen, Die schwache und die starke Kraft können alle als Krümmung (von Hauptbündeln) verstanden werden.

Offensichtlich müssen wir für GR die Krümmung für 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten und nicht nur für Oberflächen auswerten. Wir verwenden einen ähnlichen Trick wie den, den wir gerade gemacht haben. Nehmen Sie einen Punkt p in einer Mannigfaltigkeit beliebiger Dimension. Dann hat es an dieser Stelle einen Tangentialraum. Jetzt wählen wir eine Ebene durch diesen Punkt und dies bestimmt eine Fläche in der Mannigfaltigkeit, die durch diesen Punkt geht und die diese Ebene als Tangentialebene hat, und wir nehmen die Gaußsche Krümmung dieser Fläche an diesem Punkt. Dies gibt uns eine Reihe von Krümmungen, die allen Ebenen zugeordnet sind, die wir an diesem Punkt durch diesen Punkt platzieren können. Diese Krümmung wird Schnittkrümmung genannt. Und es stellt sich heraus, dass die Schnittkrümmung die Riemannsche Krümmung bestimmt und durch diese bestimmt wird.

Riemannsche Krümmung

Dies hat eine einfache, aber abstrakte Definition. Es ist definiert als

$R(u,v):=[\nabla_u,\nabla_v] - \nabla_{[u,v]}$

Es misst die Nichtkommutativität von Tangentenvektoren auf der Mannigfaltigkeit; oder alternativ der Verlust des parallelen Transports, wenn wir uns um ein kleines Parallelogramm bewegen.

Es stellt sich heraus, dass an einem Punkt p , wenn wir dort dann zwei Tangentenvektoren u,v wählen

$(R(u,v)w,z) =$ $(1/6)(d^2/ds.dt) [K(u+sz, v+tw) - K(u+sw, v+tz)]$am Punkt$(s,t) = 0$

Wobei K die Schnittkrümmung ist und wir sehen können, dass die linke Seite in gewissem Sinne auch die Nichtkommutativität misst.

Der Riemann-Krümmungstensor ist jedoch viel praktischer - er ist ein Tensor und erfüllt drei einfache Symmetrieeigenschaften, und seine abstrakte Definition - obwohl abstrakt - ist unkompliziert und leicht (im angemessenen Sinne!) Auf andere Kontexte als den zu verallgemeinern konkrete und geometrische Definition der Gaußschen Krümmung, die ziemlich kompliziert ist. So etwas kommt in Mathematik und Physik ziemlich oft vor.

Eine andere Möglichkeit, die beiden zu vergleichen, besteht darin, sie anhand einer einfachen Situation zu bewerten, und die einfachste ist die einer Oberfläche, auf der:

$R_abcd = K(g_ac.g_db - g_ad.g_cb)$

Wobei K = R/2 die Gaußsche Krümmung ist, und tatsächlich auch die Schnittkrümmung. Sie entspricht der halben Skalarkrümmung R , also der vollständigen Kontraktion des Riemann-Tensors. (Beachten Sie, dass$g_ab$ist die Metrik.)

Verbindungen

Um die Riemannsche Krümmung zu definieren, benötigen wir eine Metrik auf der Mannigfaltigkeit. Damit lassen sich Längen und Winkel messen. Es stellt sich jedoch heraus, dass wir mit weniger davonkommen können. Alles, was wir brauchen, ist eine Verbindung , die uns sagt, wie man parallel von einem Punkt zum anderen transportiert, das heißt, sie verbindet tangentiale Räume. Ein äquivalenter Begriff ist die Holonomie , die uns sagt, wie sich Tangentenvektoren ändern, wenn wir sie um kleine Schleifen transportieren.

Gemäß der Antwort von @ R. Romero darauf geben Christoffel-Symbole im 3D-Raum die schrittweise kleine Änderung der Richtung und Länge jedes der 3 Einheitsbasisvektoren Tangente, Normal und Binormal an, gemessen vom Objekt selbst mit Ursprung [0,0,0] auch am Objekt selbst:

geschickt ausgedrückt in Bezug auf die Längen, die unter Verwendung dieser gleichen T-, N-, B-Einheitsvektoren selbst zu diesem genauen Iterationszeitpunkt gemessen werden, wodurch wir eine 3x3-Gesamtmatrix erhalten, die uns den nächsten Satz von T-, N-, B-Achsenrichtung und -länge liefert wir können bei der nächsten Zeitschritt-Iteration verwenden, ist das richtig? Dann wird dieser Vorgang wiederholt, sodass wir ständig wechselnde Zahlen auf einer 3x3-Matrix (die als Riemann-Tensor definiert ist) haben, während wir uns im Raum fortbewegen.

In der 4D-Raumzeit wird dies also auf eine 4x4-Matrize verallgemeinert, da an jedem Punkt in der Raumzeit 4 Basisvektoren angegeben sind.

Aber da die Basisvektoren