Hodge Star Operator auf Krümmung?

Question

Hodge Star Operator auf Krümmung?

Jäger

Ich habe eine Frage zum Hodge Star Operator. Ich bin völlig neu in der Vorstellung von Außenderivaten und Keilprodukten. Ich musste es mir in den letzten Tagen selbst beibringen, also hoffe ich, dass meine Frage nicht trivial ist.

Ich habe die folgenden Formeln im Internet gefunden, die mit den Definitionen der beiden Bücher (Carroll und Baez & Muniain), die ich besitze, übereinstimmen. Für einen General $p$ -Formular auf a $n$ -dimensionale Mannigfaltigkeit:

v = \frac{1}{P!} v_{{ich}_{1} \dots {ich}_{P}} D X^{{ich}_{1}} \land \dots \land D X^{{ich}_{P}}

$\begin{equation} v=\frac{1}{p!} v_{i_1 \ldots i_p} \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \end{equation}$

Der Hodge-Operator ist so definiert, dass er auf der Grundlage von handelt $p$ -form wie folgt:

* (D X^{{ich}_{1}} \land \dots \land D X^{{ich}_{P}}) = \frac{1}{Q!} {\tilde{ε}}_{J_{1}, \dots, J_{Q}}^{{ich}_{1}, \dots, {ich}_{P}} D X^{J_{1}} \land \dots \land D X^{J_{Q}}

$\begin{equation} *\left( \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^{i_p} \right) = \frac{1}{q!} \tilde{ \varepsilon}_{j_1,\ldots,j_q}{}^{i_1,\ldots,i_p} \mathrm{d} x^{j_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm{d} x^{j_q} \end{equation}$

Wo $q=n-p$ Und $\tilde{ \varepsilon}$ ist der Levi-Civita-Tensor. Bis hierher ist alles in Ordnung, ich habe es geschafft, einige Übungen zu machen und die richtigen Antworten zu bekommen. Der Versuch, die Krümmung tatsächlich zu berechnen, bereitet mir jedoch einige Probleme.

Um ein bisschen Hintergrund zu geben. Ich arbeite mit einer Krümmung in einer Yang-Mills-Theorie in sphärischen Koordinaten $(r, \theta, \varphi)$ . Mit der Eichtransformation habe ich die Zeitabhängigkeit beseitigt, $r$ Abhängigkeit u $\theta$ Abhängigkeit. Daher ist die Krümmung gegeben durch:

F = \partial_{θ} A_{φ} D θ \land D φ

$\begin{equation} F = \partial_\theta A_{ \varphi} \; \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d} \varphi \end{equation}$

Die Anwendung des Hodge-Operators nach obiger Formel ergibt:

* (D θ \land D φ) = \frac{1}{(3 - 2)!} {\tilde{ε}}^{θ φ}_{R} D R = D R

$\begin{equation} * \left(\mathrm{d} \theta \wedge \mathrm{d} \varphi\right) = \frac{1}{(3-2)!} \tilde \varepsilon^{\theta \varphi}{}_r ~\mathrm{d}r=\mathrm{d}r \end{equation}$

so dass:

* F = (\partial_{θ} A_{φ}) D R

$\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \mathrm{d} r \end{equation}$

Drei verschiedene Quellen geben jedoch eine andere Formel an. Konkret geben sie an:

* F = (\partial_{θ} A_{φ}) \frac{1}{R^{2} Sünde θ} D R

$\begin{equation} *F = (\partial_\theta A_{ \varphi}) \frac{1}{r^2 \sin \theta} \mathrm{d} r \end{equation}$

Woher die das haben, ist mir nicht klar. Es wird etwas über die Tatsache erwähnt, dass die natürliche Volumenform ist $\sqrt{g} \; \mathrm{d} r \wedge \mathrm{d} \varphi \wedge \mathrm{d} \theta$ mit $\sqrt{g}=r^2 \sin \theta$ , dem ich zustimme. Ich verstehe jedoch nicht, warum dieser Begriff in den Hodge-Operator aufgenommen wurde.

Baez und Muniain definieren den Hodge-Operator wie folgt:

ω \land * μ = ⟨ ω, μ ⟩ v Ö l

$\begin{equation} \omega \wedge * \mu = \langle \omega , \mu \rangle \mathrm{vol} \end{equation}$

Aber ich sehe nicht, wie diese Formel auf die Berechnung des Hodge-Operators auf der Krümmung anwendbar ist. Kann mir jemand sagen, wo ich falsch liege, oder mir eine Quelle nennen, wo sie das erklären?

Antworten (3)

Hodge Star Operator auf Krümmung?

QMechaniker · Answer 1

Es scheint, dass die Lösung der Frage von OP im Unterschied zwischen liegt

das Levi-Civita- Symbol $[\mu_1,\ldots,\mu_d]$ , was kein Tensor ist (sondern eher eine $(d,0)$ Tensordichte ) und deren Werte nur sind $0$ Und $\pm 1$ ; Und
der Levi-Civita- Tensor $^1$
$ε^{μ_{1}, \dots, μ_{D}} = \pm \frac{[μ_{1}, \dots, μ_{D}]}{\sqrt{| G |}}, ε_{μ_{1}, \dots, μ_{D}} = \pm \sqrt{| G |} [μ_{1}, \dots, μ_{D}],$ $\varepsilon^{\mu_1,\ldots,\mu_d}~=~\pm \frac{[\mu_1,\ldots,\mu_d]}{\sqrt{|g|}} , \qquad \varepsilon_{\mu_1,\ldots,\mu_d}~=~\pm \sqrt{|g|}[\mu_1,\ldots,\mu_d] ,$ dessen Definition sich um einen Faktor von vom Levi-Civita- Symbol unterscheidet $\sqrt{|g|}\equiv \sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|}$ .

--

$^1$ Der $\pm$ ist enthalten, um anzuerkennen, dass verschiedene Autoren unterschiedliche Konventionen haben.

Tushar Gopalka · Answer 2

Wenn wir in Indexnotation arbeiten, sollten wir bedenken, dass wir eine Formel erhalten sollten, die unter allgemeinen Koordinatentransformationen angemessen kovariant ist. Daher sollten wir diese allgemeinen Formeln verwenden, wenn wir mit der Indexnotation arbeiten:

Sie können sehen, wie die inverse Metrik und der bestimmende Faktor der Metrik zusammenwirken, um Ihnen den richtigen Faktor von zu geben $\frac{1}{r^2 sin(\theta)}$ .

Ruma Dutta · Answer 3

Der Hodge-Sternoperator auf einem Vektorraum V ist ein linearer Operator auf der äußeren Algebra von V, der k Vektoren auf (nk) Vektoren mit n = dim V abbildet. Bei gegebenen zwei k Vektoren a, b; a /\ *b = < a b> w. Es bringt also den k-Vektor außerhalb von k dim des k-Vektorraums. In Ihrem Krümmungsvektorraum zwischen Theta und Phi haben Sie also das innere Produkt genommen und es dann auf den äußeren Raum projiziert, indem Sie es mit dem entsprechenden Einheitsvektor multipliziert haben.

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Jäger

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QMechaniker

Tushar Gopalka

Ruma Dutta

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