Was sind die lokalen kovarianten Tensoren, die man aus der Metrik bilden kann?

Normalerweise gehen wir in der Differentialgeometrie davon aus, dass die einzige Möglichkeit, eine tensorielle Größe durch Differentiation zu erzeugen, darin besteht, (1) mit einem Tensor zu beginnen und dann (2) eine kovariante Ableitung (keine einfache alte partielle Ableitung) anzuwenden. Wenn ich dies auf GR anwende, denke ich, dass eine Möglichkeit, das Äquivalenzprinzip zu formulieren, darin besteht, dass das einzige tensorielle Objekt, von dem wir erwarten, dass es in das Vakuum "eingebaut" wird, die Metrik ist. Da die kovariante Ableitung im Grunde als eine Ableitung definiert ist, die Null ergibt, wenn Sie sie auf die Metrik anwenden, bedeutet dies, dass Sie nichts Interessantes (dh lokal und tensorial) erhalten können, indem Sie den durch #1 und #2 beschriebenen Prozess anwenden zum Vakuum. Dies kann als ausgefallene Art und Weise verwendet werden, um zu argumentieren, dass das Newtonsche Gravitationsfeld$\mathbf{g}$ist kein Tensor, da es in der Newtonschen Grenze im Wesentlichen der Gradient der Metrik ist.

Jedoch ist das durch #1 und #2 beschriebene Verfahren ausreichend, aber nicht notwendig. Tatsächlich besteht eine Möglichkeit, die Krümmung zu definieren, darin, nicht-kovariante Ableitungen der Metrik zu nehmen, um die Christoffel-Symbole zu bilden, und dann weitere Operationen mit nicht-kovarianten Ableitungen durchzuführen, um den Riemann-Krümmungstensor zu erhalten – der sich überraschenderweise als gültiger Tensor herausstellt .

Es scheint also, dass der Riemann-Tensor ein Sonderfall ist. Ich dachte ursprünglich, dass es einen Eindeutigkeitssatz geben könnte, der beweist, dass, wenn wir eine lokale, tensorielle Größe aus der Metrik erzeugen wollen, die einzigen Möglichkeiten der Riemann-Tensor oder Krümmungspolynome sind, die aus dem Riemann-Tensor und seinen kovarianten Ableitungen gebildet werden.

[EDITS] Ein Kommentar von Joshphysics und die Antwort von BebopButUnsteady haben mir geholfen, diese Vermutung wie folgt zu verfeinern.

Joshphysics wies darauf hin, dass Dinge wie$g_{ab}g_{cd}$können als triviale Gegenbeispiele angesehen werden. Mir fallen da zwei Möglichkeiten ein, damit umzugehen:

(1) Die Antwort von BebopButUnsteady zeigt, dass dies in gewisser Weise überhaupt kein Gegenbeispiel ist, da die Metrik selbst als Taylor-Reihe in Bezug auf den Riemann-Tensor und seine Ableitungen ausgedrückt werden kann. Wenn die Metrik analytisch ist und wir bereit sind, unendliche Reihen zu akzeptieren, bedeutet dies, dass es keine Informationen in der Metrik gibt, die nicht aus dem Riemann-Tensor gewonnen werden können.

(2) Was außer Krümmungspolynomen, die aus dem Riemann-Tensor und seinen kovarianten Ableitungen gebildet werden, nicht zu existieren scheint, ist (a) irgendein variierendes Skalarfeld oder (b) irgendein Vektorfeld. (Teil b ist im Grunde das Äquivalenzprinzip.)