Spannungsenergietensor und die kovariante Ableitung des 4-Impulses

Sie sind definitiv auf dem richtigen Weg, aber die Beziehung, die Sie suchen, hängt davon ab, wie Sie Ihre Angelegenheit modellieren möchten. Staub und Strahlung sind die beiden Modelle, die am besten funktionieren und in ihren Ergebnissen fast gleichwertig sind. Natürlich die allgemeine Definition von$T_{\mu\nu}$ist „der Fluss des Viererimpulses$p_{\mu}$über eine Fläche konstant$x_{\nu}$“. Da eine Staubwolke eine Ansammlung sich bewegender Teilchen mit einer ziemlich festen Geschwindigkeit im Trägheitsbezugssystem ist, können wir den (Teilchen-)Fluss mit der Geschwindigkeit und der Anzahl der Teilchen berechnen, indem wir die vier Geschwindigkeiten definieren,$U_{\nu}$, und die Anzahldichte der Teilchen$n$. Dadurch können wir den (vier) Fluss als bestimmen$N_{\nu} = nU_{\nu}$. Nicht vergessen seit unserem$0^{th}$Index ist immer voller Spaß, der$N_{0}$Die Komponente ist die Anzahldichte der Teilchen, und die Indizes ungleich Null entsprechen dem Fluss in Richtung des jeweiligen Indexes, mit dem Sie es zu tun haben.

Wir sind fast da, versprochen! Definieren Sie daraus Ihre Energiedichte in Bezug auf das, was wir haben, was nur die Teilchenanzahldichte ist.$n$, und die Teilchenmasse, um unsere zu geben$T_{00}$Begriff Energiedichte Begriff:$\rho = nm$. Typischerweise wäre es$nmc^{2}$, aber wir nehmen solche Einheiten$c = 1$. Der Null-Index-Begriff der vier Impulse, die diese Einheiten verwenden, kommt zu Stande$\frac {E} {c^{2}}$was Sie bemerken sollten$m$.

Wir haben jetzt alle Bestandteile, um den gesamten Spannungs-Energie-Tensor zu erzeugen, wir haben eine Komponente dafür und die Beziehung zwischen unseren vier Impulsen und unserem Fluss, die uns diese erste Komponente gebracht haben. Der Rest lässt sich dann wie folgt verallgemeinern:

Nimmt man den gemischten Spannungs-Energie-Tensor und$T^{i}_{j} = \nabla_{j}p^{i}$, die Verbindung$\nabla_{j}$wirkt auf einen Vektor$p^{i}$, reduziert zu$\frac {\partial p^{i}}{\partial x_{j}}$. Soweit ich weiß, hat das keine wirkliche physikalische Bedeutung.

Alles in allem ist die obige Gleichung jedoch diejenige, die Sie am ehesten verwenden möchten. Einführung in die$\nabla_{j}$stochert darin, kovariante Ableitungen von Tensoren zu nehmen, was einen zusätzlichen Term in der Antwort aus der regulären partiellen Differenzierung erfordert, die (Sie haben es erraten) die affine Verbindung genannt wird, aber wenn Sie machen$\nabla_{j}T^{ik} = 0$oder gleichwertig$T^{ik}_{\:\:\:;j} = 0$wir haben Energie- und Impulserhaltung!

All dies wurde direkt aus diesen Vorlesungsunterlagen (insbesondere Vorlesung 1) referenziert, falls ich verwirrend oder unklar rüberkomme. Der Autor macht einen viel besseren Job als ich.