Wie kann ich den Spannungstensor für ein Newtonsches Fluid physikalischer herleiten?

Die Frage ist ziemlich grundlegend und eher auf Anfängerniveau (nicht sicher, ob in diesem High-Level-Forum gut, aber ich versuche es): Ich habe große Probleme, den Spannungstensor für Newtonsche Flüssigkeiten in Bezug auf Geschwindigkeiten u zu verstehen.

Das Ergebnis (vorausgesetzt μ ' = 0 ) ist (laut meinem Lehrbuch)

τ ich J = μ ( ∂ J u ich + ∂ ich u J − 2 3 δ ich J ∂ k u k )

Ich kenne die Ableitung davon, aber es ist aus physikalischer Sicht nicht sehr intuitiv. Ich möchte insbesondere verstehen, warum wir den Begriff haben ∂ J u ich

Aus dem folgenden Bild und der Definition der viskosen Spannungen würde ich naiverweise erwarten, dass die Spannung in 1-Richtung auf Fläche-2 genau so ist

σ 12 = μ ∂ 2 u 1

Warum gibt es auch den Beitrag ∂ 1 u 2 ?

Und woher kommt der symmetrische zusätzliche 2/3-Term?

Ich verstehe ohne weiteres die Herleitung meines Lehrbuchs, aber das ist eher mathematisch und ich kann die Physik (noch) nicht dahinter sehen.

Spannungstensor

BEARBEITEN:

Ich habe gesehen, dass Asymmetrie eine Folge davon ist, dass entlang aller Achsen kein Impuls vorhanden ist. Das habe ich nicht erkannt, aber jetzt ist es klar.

Der Grund für die komplizierte Mathematik besteht darin, zu gewährleisten, dass der Spannungszustand, den das Gesetz beschreibt, unabhängig von der Bewegung des Beobachters sein muss (die den Spannungszustand in einer Flüssigkeit natürlich nicht beeinflussen kann), sogar einschließlich Starrkörperrotationen des Beobachters. Grundsätzlich besagt Newtons empirisches Viskositätsgesetz, dass der Spannungszustand in einer Flüssigkeit eine lineare Funktion der Komponenten des Geschwindigkeitsgradiententensors sein muss. Die Proportionalitätskonstante wird ausgehebelt, indem der Fall von nur einer einzigen Komponente zum Geschwindigkeitsgradienten betrachtet und an diesen Fall angepasst wird.
Dies kann helfen oder auch nicht. Auch dies kann richtig sein oder auch nicht. Letztlich liegt der Grund für die Verwirrung in den philosophischen Unterschieden zwischen „kontinuierlicher Mathematik“ und „diskreter Mathematik“. In der Physik beginnen wir damit, diskrete Systeme (dh Teilchen) zu untersuchen. Die Anwendung von "kontinuierlicher Mathematik" (lesen Sie Ableitungen/Integrale/kontinuierliche Zahlenreihen) auf "diskrete Teilchen" ist viel einfacher als die Anwendung von "kontinuierlicher Mathematik" auf "kontinuierliche Systeme". Der grundlegende Unterschied ist der Unterschied zwischen Punkten im 3D-Raum und infinitesimalen Regionen im 3D-Raum
Mit Punkten können Sie sagen: "An diesem Punkt gibt es eine Kraft in einer bestimmten Richtung." Bei kontinuierlicher Materie müssen wir uns an 1) Kraftdichten (gelesene Kräfte pro Flächeneinheit) gewöhnen, weil das das einzige ist, was in diesem Zusammenhang Sinn macht (Kräfte an Punkten im Kontinuum machen keinen Sinn. Definiere Kraftdichte genauso wie Masse Dichte ist für ein Kontinuum sinnvoller als Masse (wie viel Masse befindet sich an einem Punkt in einer Flüssigkeit?) und 2) dass diese Kraftdichten mit der Richtung variieren. Punkt 2 ist intuitiv schwieriger zu verstehen. Vor allem , wenn Sie versuchen, dies mit der einführenden Physik in Verbindung zu bringen
weil es keinen vergleich gibt. Es ist eine völlig andere Denkweise
Verwandt, wenn nicht betrogen, physical.stackexchange.com/q/152927/25301

Antworten (1)

Es ist subjektiv zu sagen, was für eine Person "intuitiv" ist, aber hier ist eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, basierend auf drei physikalischen Annahmen.

Man könnte a priori sagen, dass der Spannungstensor σ ¯ ¯ ist eine lineare Funktion des Geschwindigkeitsgradiententensors ∇ v → . Es gibt ein paar physikalische Möglichkeiten, dies zu begründen: Der aktuelle Spannungszustand ist unabhängig von den vorherigen Spannungszuständen, die Beziehung ist invariant in Bezug auf klassische Inertialsysteme, also keine Abhängigkeit von v → , usw.

Dies bedeutet, dass Sie die Spannungs-Dehnungs-Beziehung darstellen können als

σ ¯ ¯ = C ∇ v →

Wo C ist ein Tensor vierter Ordnung. Jetzt geht es darum, herauszufinden, welche Elemente des Tensors C sind null.

Wir können dann davon ausgehen, dass sich die Spannungs-Dehnungs-Beziehung in Bezug auf die Ausrichtung Ihrer Betrachtungsweise nicht ändert , was mathematisch übersetzt heißt C Tensor ist isotrop. Dies gilt sicherlich für einfache Flüssigkeiten, bei denen wir davon ausgehen, dass die konstituierenden Atome / Moleküle für alle beabsichtigten Zwecke ungefähr kugelförmig sind, aber nicht, wenn wir stäbchenartige Polymere / Moleküle haben, aus denen unsere Flüssigkeit besteht. (Rechnet man nach, tötet dies viele Elemente im obigen Tensor ab.)

Diese Isotropie, kombiniert mit der Annahme, dass das Fluid keine Oberflächenpaare oder internen Drehmomente trägt , wird alle verbleibenden zusätzlichen Terme abtöten und sofort das Newtonsche Fluidmodell erzeugen. (Diese Annahme trifft fast immer zu, außer bei Materialien mit nichttrivialer magnetischer Kopplung oder einigen anderen exotischen Effekten.)

Hoffe das hilft!

Wenn Sie denken, dass die Notation schrecklich ist, warum markieren Sie die Reihenfolge überhaupt? Du könntest einfach schreiben σ = C ∇ v → und dann sag das C ist ein Tensor vierter Ordnung (das sagst du sowieso, sogar mit allen Balken).
Sehr richtig; Ich werde entsprechend aktualisieren!
Wie kann ich den Spannungstensor für ein Newtonsches Fluid physikalischer herleiten?
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