Warum ignoriert Anderson eine Ableitung einer normalen viskosen Spannung?

Question

Warum ignoriert Anderson eine Ableitung einer normalen viskosen Spannung?

Physik
Viskosität
Aerodynamik
Navier-Stokes
Flüssigkeitsdynamik

Dat

Ich lese "Fundamentals of Aerodynamics", 5. Auflage, JDAnderson. In Teil 15.6 sagte er:

Stellen Sie sich eine stetige zweidimensionale, viskose, komprimierbare Strömung vor. Die x-Impulsgleichung für eine solche Strömung ist durch Gleichung (15.19a) gegeben, die sich für den vorliegenden Fall reduziert auf:
$\begin{aligned} (15.27) & ρ u \frac{\partial u}{\partial X} + ρ v \frac{\partial u}{\partial j} = - \frac{\partial P}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial j} [μ (\frac{\partial v}{\partial X} + \frac{\partial u}{\partial j})] \end{aligned}$ $\begin{align} \rho u \frac{\partial u}{\partial x} + \rho v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial y} \left[ \mu \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right] \tag{15.27} \end{align}$

die Gleichung (15.19a) lautet:

\begin{aligned} ρ \frac{\partial u}{\partial T} + ρ u \frac{\partial u}{\partial X} + ρ v \frac{\partial u}{\partial j} + ρ w \frac{\partial u}{\partial z} = \\ (15.19a) & - \frac{\partial P}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial X} [λ \nabla \cdot v + 2 μ \frac{\partial u}{\partial X}] + \frac{\partial}{\partial j} [μ (\frac{\partial v}{\partial X} + \frac{\partial u}{\partial j})] + \frac{\partial}{\partial z} [μ (\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial X})] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho u \frac{\partial u}{\partial x} + \rho v \frac{\partial u}{\partial y} + \rho w \frac{\partial u}{\partial z} =\\ &- \frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial }{\partial x} \left[ \lambda\boldsymbol{\nabla} \cdot\mathbf{V} + 2\mu\frac{\partial u }{\partial x} \right] + \frac{\partial }{\partial y} \left[ \mu \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right] + \frac{\partial }{\partial z} \left[ \mu \left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \right) \right] \tag{15.19a} \end{align}$

Ich habe versucht, einige Begriffe zu entfernen, aber der zweite Begriff (in der Tat ist es $\partial \tau_{xx}/\partial x$ ) auf der rechten Seite scheint für diesen Fall nicht gleich Null zu sein. Wissen Sie, warum der Autor diesen Begriff ignoriert?

Chet Miller

Er spielt auf „den vorliegenden Fall“ an. Was genau ist der vorliegende Fall, den er betrachtet?

Dat

@miller Der Fall wurde angegeben: "Betrachten Sie eine stetige zweidimensionale, viskose, komprimierbare Strömung." Wenn Sie sichergehen wollen, gehen Sie hier zu avionicsengineering.files.wordpress.com/2016/11/… und schauen Sie sich den Anfang von Teil 15.6 an

Chet Miller

Es scheint, dass er (stillschweigend) die Ableitung von vernachlässigt

τ_{x x}

$\tau_{xx}$ in Bezug auf x im Vergleich zur Ableitung von

τ_{x y}

$\tau_{xy}$ bezüglich y. Dies ist eine Näherung, die bei Grenzschichtströmungen wie der betrachteten genau ist, bei der die Hauptströmung parallel zur Wand verläuft und die Axialgeschwindigkeit schnell mit dem Abstand von der Wand variiert, aber aufgrund der rutschfesten Randbedingung variiert sehr allmählich (oder an der Grenze überhaupt nicht) mit der Entfernung entlang der Wand.

tpg2114

@ChesterMiller Das war auch mein Gedanke, als ich das Kapitel noch einmal las. Und die Gleichungen sind in der 3. und 4. Ausgabe gleich, ich habe das Gefühl, es wäre aufgefangen worden, wenn es ein Fehler gewesen wäre.

Chet Miller

Nein, dein Gedanke war definitiv richtig. Dies ist ein Standardansatz zur Lösung von Grenzschichtproblemen. Aber der Autor hätte direkter sein und sich speziell auf die beteiligten Annahmen und Annäherungen konzentrieren sollen.

Benutzer197851

Einverstanden, als ich diese Kommentare und die Antwort von nluigi sah, dass einer wahrscheinlicher der richtige ist als meiner.

Dat

Auf der folgenden Seite, Seite 917, gibt es ein weiteres Beispiel und er sagte "Vernachlässigung der Normalspannungen". Das hätte er früher sagen sollen, vielleicht in der nächsten Ausgabe.

Antworten (2)

Warum ignoriert Anderson eine Ableitung einer normalen viskosen Spannung?

Er spielt auf „den vorliegenden Fall“ an. Was genau ist der vorliegende Fall, den er betrachtet?
@miller Der Fall wurde angegeben: "Betrachten Sie eine stetige zweidimensionale, viskose, komprimierbare Strömung." Wenn Sie sichergehen wollen, gehen Sie hier zu avionicsengineering.files.wordpress.com/2016/11/… und schauen Sie sich den Anfang von Teil 15.6 an
Es scheint, dass er (stillschweigend) die Ableitung von vernachlässigt $\tau_{xx}$ in Bezug auf x im Vergleich zur Ableitung von $\tau_{xy}$ bezüglich y. Dies ist eine Näherung, die bei Grenzschichtströmungen wie der betrachteten genau ist, bei der die Hauptströmung parallel zur Wand verläuft und die Axialgeschwindigkeit schnell mit dem Abstand von der Wand variiert, aber aufgrund der rutschfesten Randbedingung variiert sehr allmählich (oder an der Grenze überhaupt nicht) mit der Entfernung entlang der Wand.
@ChesterMiller Das war auch mein Gedanke, als ich das Kapitel noch einmal las. Und die Gleichungen sind in der 3. und 4. Ausgabe gleich, ich habe das Gefühl, es wäre aufgefangen worden, wenn es ein Fehler gewesen wäre.
Nein, dein Gedanke war definitiv richtig. Dies ist ein Standardansatz zur Lösung von Grenzschichtproblemen. Aber der Autor hätte direkter sein und sich speziell auf die beteiligten Annahmen und Annäherungen konzentrieren sollen.
Einverstanden, als ich diese Kommentare und die Antwort von nluigi sah, dass einer wahrscheinlicher der richtige ist als meiner.
Auf der folgenden Seite, Seite 917, gibt es ein weiteres Beispiel und er sagte "Vernachlässigung der Normalspannungen". Das hätte er früher sagen sollen, vielleicht in der nächsten Ausgabe.

nluigi · Answer 1

Nach der Antwort von @ LonelyProf denke ich, dass es weniger ein Fehler als eine zu starke Vereinfachung ist.

Früher auf S. 907 Nach der Definition der viskosen Spannungen erklärt der Autor weiter:

Auch hier sind die Normalspannungen nur dort wichtig, wo die Ableitungen sind $∂_xu$ , $∂_yv$ , Und $∂_zw$ sind sehr groß. Für die meisten praktischen Strömungsprobleme $τ_{xx}$ , $τ_{yy}$ , Und $τ_{zz}$ sind klein, und daher die Unsicherheit bzgl $λ$ ist im Wesentlichen eine akademische Frage. Ein Beispiel, bei dem die Normalspannung wichtig ist, ist die innere Struktur einer Stoßwelle. Denken Sie daran, dass Stoßwellen im wirklichen Leben eine endliche, aber geringe Dicke haben. Betrachten wir eine normale Schockwelle, über die große Geschwindigkeitsänderungen über eine kleine Distanz (typischerweise 10−5 cm) hinweg auftreten, dann klar $∂_xu$ wird sehr groß sein, und $τ_{xx}$ wird innerhalb der Stoßwelle wichtig.

Der Abschnitt, auf den sich OP bezieht, befasst sich mit der Dimensionsanalyse (Ähnlichkeit), und in diesem Zusammenhang bezieht sich der Autor auf:

fließt über zwei unterschiedlich geformte Körper...

Ich denke, wir können sicher davon ausgehen, dass diese Körper relativ groß sind, was zusammen mit dem obigen Zitat zu der Annahme führt, dass:

τ_{X X} = λ \vec{\nabla} \cdot \vec{v} + 2 μ \frac{\partial u}{\partial X} \sim 0

$\tau_{xx} = \lambda\vec{\nabla}\cdot\vec{v}+2\mu\frac{\partial u}{\partial x} \sim 0$

Ich denke, der Autor hat dies offenkundig ohne Beweis (z. B. durch Dimensionsanalyse) angenommen und den Ausdruck zu schnell vereinfacht. Es kommt manchmal in der Fachliteratur vor.

Benutzer197851 · Answer 2

Ich denke, dass dies ein Fehler im Buch sein muss. Der Autor erklärt ausdrücklich früher in dem Kapitel, dass er es nimmt $\lambda=-\frac{2}{3}\mu$ (Stokes). Also setzt man dies in Gl. (15.19a) ein und erhält die $x$ -Komponente der Standard-Navier-Stokes-Gleichung, die für mich richtig aussieht. Und, was am wichtigsten ist, der zweite Term rechts von Gl. (15.19a) verschwindet im Allgemeinen nicht!

(Oft wird diese Gleichung geschrieben, ohne die Annahme zu treffen $\lambda=-\frac{2}{3}\mu$ , aber die mathematische Form wird durch Definition gleich gemacht $\zeta=\lambda+\frac{2}{3}\mu$ und Neudefinition des Drucks $p\rightarrow p-\zeta\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{V}$ . Das ist also nicht die Ursache des Problems).

Ich sehe keine anderen Annahmen als "stetige zweidimensionale, viskose, komprimierbare Strömung", daher scheint es keinen physikalischen Grund dafür zu geben, den fraglichen Begriff fallen zu lassen. Ich vermute, dass es nur aus Versehen weggelassen wurde. Die Rettung ist, dass sich Abschnitt 15.6 nur mit Dimensionsargumenten befasst.

Warum ignoriert Anderson eine Ableitung einer normalen viskosen Spannung?

Dat

Chet Miller

Dat

Chet Miller

tpg2114

Chet Miller

Benutzer197851

Dat

Antworten (2)

nluigi

Benutzer197851

Stokessches Gesetz Proportionalität zum Radius

Wie kann ein Gas Zugspannungen aufnehmen?

Wie kann ich den Spannungstensor für ein Newtonsches Fluid physikalischer herleiten?

Gibt es eine analytische Lösung für die Flüssigkeitsströmung in einem quadratischen Kanal?

Interpretation der Zeitskala L2/νL2/νL^2/\nu

Stokessches Gesetz in 2 Dimensionen

Reynoldszahl eines Strömungsprofils in einem Rohr

Geschwindigkeitsprofil einer viskos gedämpften Welle

Viskosität und Energiebilanz

Auftriebs- und Luftwiderstandsbeiwerte auf anderen Planeten