Flüssigkeitsströmung: Auf die Flüssigkeit wirkende Kraft und die Navier-Stokes-Gleichung

Question

Flüssigkeitsströmung: Auf die Flüssigkeit wirkende Kraft und die Navier-Stokes-Gleichung

abcdef

Betrachten Sie eine eindimensionale Flüssigkeitsströmung in einem rechteckigen Rohr. Typische Bäche sind die Poiseuille-Bäche. Betrachten Sie den Fall, in dem wir eine Kraft auf die Flüssigkeit ausüben. Die Navier-Stokes-Gleichung (für inkompressible Flüssigkeiten) lautet formal:

ρ_{F} \frac{D \vec{v}}{D T} = - \nabla P + ρ_{F} \vec{F} + η \nabla^{2} \vec{v}

$\rho_f \frac{d \vec{v}}{dt}=-\nabla p+\rho_f \vec{f}+\eta \nabla^2 \vec{v}$ Der Fluss ist

1 D

$1D$ So:

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \frac{d \vec{v}}{d t}

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\frac{d \vec{v}}{dt}$ . Betrachten Sie reibungsfreien Fluss:

η = 0

$\eta=0$ .

ρ_{F} \frac{\partial \vec{v}}{\partial T} = - \nabla P + ρ_{F} \vec{F}

$\rho_f \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\nabla p+\rho_f \vec{f}$

Die Längen entlang der Röhre sind mit bezeichnet

s

$s$ . Wenden wir die Kraft an:

\vec{F} = Q Sünde S . \hat{S}

$\vec{f}=q\sin s.\hat{s}$ Wo

q

$q$ ist nur eine Konstante, um die entsprechenden Einheiten der Kraft pro kg und entsprechen

\hat{s}

$\hat{s}$ der Einheitsvektor im Positiven

s

$s$ Richtung. Wir haben keine Druckdifferenz, also reduziert sich die Bewegungsgleichung auf:

ρ_{F} \frac{\partial \vec{v}}{\partial T} = ρ_{F} Q Sünde S . \hat{S}

$\rho_f \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\rho_f q\sin s.\hat{s}$ wobei das Skalarprodukt mit genommen wird

\hat{s}

$\hat{s}$ :

\frac{\partial v}{\partial T} = Q Sünde S

$\frac{\partial v}{\partial t}= q\sin s$ Wo

\vec{v} \cdot \hat{s} = v

$\vec{v} \cdot\hat{s}=v$ So:

v (T, S) = Q T Sünde S

$v(t,s) = qt \sin s$ Die Geschwindigkeit in den anderen Richtungen ist

0

$0$ . Wir haben also eine Inkonsistenz mit der Kontinuitätsgleichung:

\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v}{D S} = Q T \cos S \neq 0

$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v}{ds}=qt \cos s \neq 0$ Wie ist das möglich? Ist die Annahme der Inkompressibilität falsch? Vielleicht gibt es einen Druck durch die Kraft?

Um etwas weiter zu gehen:
Betrachten Sie den Fall, dass die Röhre wie ein Torus geschlossen ist. es gibt viskose Effekte und es gibt eine nicht-konservative Kraft. außerdem ist die Flüssigkeit inkompressibel. Welche Gleichung beschreibt die Bewegung dieses Problems? Die obige Navier-Stokes-Gleichung ergibt einen Widerspruch.

Danke.

Benutzer3823992

Ja, hier wird ein Druckgradient im Spiel sein. Auch in der ursprünglichen Formulierung verwendet man im Allgemeinen

D / D t

$D/Dt$ um die advektive (oder materielle) Ableitung anzuzeigen, anstatt

d / d t

$d/dt$ .

abcdef

Wie kann dieser Druck gefunden werden? Denn um die Kraft auszugleichen, muss der Druckgradient gleich der Kraft sein. Und so wird es keinen Fluss geben?

Benutzer3823992

Dies hängt von den Randbedingungen und der Größe der Domäne ab. Zum Beispiel: Wenn die Schlauchlänge ein Vielfaches von ist

2 π

$2\pi$ , ist die durchschnittliche Kraft 0 und es würde keine Bewegung auftreten.

abcdef

Was wäre, wenn die Röhre wie ein Torus geschlossen wäre und sich die Kraft nicht aufheben würde? (Also überall positiv)? Gibt es nur eine mittlere Geschwindigkeit?

Benutzer3823992

Auf der Ebene dieser Gleichungen würde der Torus der Flüssigkeit, den Sie beschreiben, unbegrenzt beschleunigen, wenn Sie eine positive Kraft in Richtung des Stroms anwenden. Es ist physikalisch nicht sehr realistisch, aber das würden die Gleichungen beschreiben.

abcdef

Was müssen wir in die Gleichungen einbeziehen, um eine realistischere Situation zu erhalten?

Benutzer3823992

Nun, welcher Teil einer reibungsfreien, eindimensionalen, toroidalen Strömung mit einer nicht konservativen Körperkraft ist besonders physikalisch? Wie ich angedeutet habe, würde sich das, was Sie vorschlagen, auf unbestimmte Zeit beschleunigen, dieses Ergebnis ist definitiv nicht realistisch.

abcdef

Die Situation tritt auf, wenn Sie einen mit Flüssigkeit gefüllten Torus vorbei drehen

180^{\circ}

$180^{\circ}$ . die Erdrotation verursacht eine Coriolus-Kraft, die entlang des Torus variiert. In diesem Fall schließe ich klebrige Effekte ein. Aber wie berechnet man Dinge mit einer nicht-konservativen Kraft, ohne unrealistische Effekte zu bekommen?

Benutzer3823992

Das Einbeziehen der Viskosität wäre wahrscheinlich der beste Ausgangspunkt. Nehmen Sie eine Poisseuille-Strömung an, um einen Dissipationsterm zu erhalten, der von der mittleren Geschwindigkeit abhängt. Das gilt relativ, wenn das Rohr im Verhältnis zur Länge klein ist.

abcdef

Aber dann haben wir immer noch das Problem:

\nabla \cdot \vec{v} \neq 0

$\nabla \cdot \vec{v} \neq 0$ ?

Benutzer3823992

Aufgrund der Kontinuität bewegt sich die 1D-Strömung in einem Rohr mit konstantem Querschnitt mit der gleichen Geschwindigkeit in Strömungsrichtung. Die gesamte Flüssigkeitsmasse wird als Einheit beschleunigt.

abcdef

Ja, aber aus welcher Gleichung kannst du das ableiten?

Benutzer3823992

Aus Kontinuität kennt man das

v

$v$ variiert nicht im Raum, nur in der Zeit. Es ist also effektiv dasselbe wie eine Festkörperbewegung. Integrieren Sie die Kraft über das Volumen, teilen Sie sie durch die Masse und Sie erhalten eine Beschleunigung. Integrieren Sie das, um Geschwindigkeit zu erhalten.

abcdef

Aber gibt es eine allgemeine Gleichung, um diese Dinge zu lösen? Denn bei Reibung mit den Wänden stimmt die obige Ableitung nicht mehr. Übrigens danke, dass du mir geholfen hast.

falematt

Warum vernachlässigen Sie in der Frage den "advektiven" Teil der Ableitung und behalten nur die

\partial_{t}

$\partial_t$ ?

abcdef

Weil es 1D-Fluss ist.

\nabla \cdot \vec{v} = 0

$\nabla \cdot \vec{v} =0$ bedeutet:

\frac{\partial v}{\partial s} = 0

$\frac{\partial v}{\partial s} =0$ . So

(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = 0

$(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = 0$ .

Antworten (2)

Flüssigkeitsströmung: Auf die Flüssigkeit wirkende Kraft und die Navier-Stokes-Gleichung

Ja, hier wird ein Druckgradient im Spiel sein. Auch in der ursprünglichen Formulierung verwendet man im Allgemeinen $D/Dt$ um die advektive (oder materielle) Ableitung anzuzeigen, anstatt $d/dt$ .
Wie kann dieser Druck gefunden werden? Denn um die Kraft auszugleichen, muss der Druckgradient gleich der Kraft sein. Und so wird es keinen Fluss geben?
Dies hängt von den Randbedingungen und der Größe der Domäne ab. Zum Beispiel: Wenn die Schlauchlänge ein Vielfaches von ist $2\pi$ , ist die durchschnittliche Kraft 0 und es würde keine Bewegung auftreten.
Was wäre, wenn die Röhre wie ein Torus geschlossen wäre und sich die Kraft nicht aufheben würde? (Also überall positiv)? Gibt es nur eine mittlere Geschwindigkeit?
Auf der Ebene dieser Gleichungen würde der Torus der Flüssigkeit, den Sie beschreiben, unbegrenzt beschleunigen, wenn Sie eine positive Kraft in Richtung des Stroms anwenden. Es ist physikalisch nicht sehr realistisch, aber das würden die Gleichungen beschreiben.
Was müssen wir in die Gleichungen einbeziehen, um eine realistischere Situation zu erhalten?
Nun, welcher Teil einer reibungsfreien, eindimensionalen, toroidalen Strömung mit einer nicht konservativen Körperkraft ist besonders physikalisch? Wie ich angedeutet habe, würde sich das, was Sie vorschlagen, auf unbestimmte Zeit beschleunigen, dieses Ergebnis ist definitiv nicht realistisch.
Die Situation tritt auf, wenn Sie einen mit Flüssigkeit gefüllten Torus vorbei drehen $180^{\circ}$ . die Erdrotation verursacht eine Coriolus-Kraft, die entlang des Torus variiert. In diesem Fall schließe ich klebrige Effekte ein. Aber wie berechnet man Dinge mit einer nicht-konservativen Kraft, ohne unrealistische Effekte zu bekommen?
Das Einbeziehen der Viskosität wäre wahrscheinlich der beste Ausgangspunkt. Nehmen Sie eine Poisseuille-Strömung an, um einen Dissipationsterm zu erhalten, der von der mittleren Geschwindigkeit abhängt. Das gilt relativ, wenn das Rohr im Verhältnis zur Länge klein ist.
Aber dann haben wir immer noch das Problem: $\nabla \cdot \vec{v} \neq 0$ ?
Aufgrund der Kontinuität bewegt sich die 1D-Strömung in einem Rohr mit konstantem Querschnitt mit der gleichen Geschwindigkeit in Strömungsrichtung. Die gesamte Flüssigkeitsmasse wird als Einheit beschleunigt.
Aus Kontinuität kennt man das $v$ variiert nicht im Raum, nur in der Zeit. Es ist also effektiv dasselbe wie eine Festkörperbewegung. Integrieren Sie die Kraft über das Volumen, teilen Sie sie durch die Masse und Sie erhalten eine Beschleunigung. Integrieren Sie das, um Geschwindigkeit zu erhalten.
Aber gibt es eine allgemeine Gleichung, um diese Dinge zu lösen? Denn bei Reibung mit den Wänden stimmt die obige Ableitung nicht mehr. Übrigens danke, dass du mir geholfen hast.
Warum vernachlässigen Sie in der Frage den "advektiven" Teil der Ableitung und behalten nur die $\partial_t$ ?
Weil es 1D-Fluss ist. $\nabla \cdot \vec{v} =0$ bedeutet: $\frac{\partial v}{\partial s} =0$ . So $(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = 0$ .

Time4Tea · Answer 1

Ich stimme dem Benutzer 3823992 zu, dass es falsch war, die Druckdifferenz zu vernachlässigen. Bei der gegebenen konstanten sinusförmigen Körperkraft handelt es sich im Grunde um ein hydrostatisches Problem, bei dem die Druckdifferenz die Körperkraft ausgleicht. Betrachten Sie die Navier-Stokes-Impulsgleichung:

\frac{\partial v}{\partial T} + (v \cdot \nabla) v = - \frac{\nabla P}{ρ} + F + v \nabla^{2} v

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}=-\frac{\nabla p}{\rho}+\mathbf{f} +\nu \nabla^2 \mathbf{v}$

Nehmen wir die Geschwindigkeit an $\mathbf{v}$ Null ist, dann reduziert es sich auf den hydrostatischen Fall, wobei:

\frac{\nabla P}{ρ} = F

$\frac{\nabla p}{\rho}=\mathbf{f}$

$\mathbf{f}$ hat nur eine Komponente in s-Richtung, also wird es so sein $\nabla p$ :

\begin{array}{rcl} \frac{D P}{D S} \cdot \hat{S} & = & ρ Q Sünde (S) \cdot \hat{S} \\ \int_{P_{0}}^{P} D P & = & ρ Q \int_{0}^{S} Sünde (S) D S \\ P - P_{0} & = & ρ Q (1 - \cos (S)) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{dp}{ds} \cdot \hat s&=&\rho q \sin(s) \cdot \hat s\\ \int_{p_0}^pdp&=&\rho q \int_0^s \sin(s) ds\\ p-p_0&=&\rho q (1- \cos (s)) \end{eqnarray*}$

( $p_0$ ist nur ein willkürlicher Referenzdruck, der vor dem Aufbringen der Kraft vorhanden gewesen sein kann).

$\mathbf{v}=0$ offensichtlich erfüllt die Kontinuitätsgleichung, obwohl ich denke, dass jede andere Lösung eine Konstante hat $\mathbf{v}$ würde die Gleichung auch erfüllen. Dies wäre nur eine Massenfluidbewegung, die vorhanden war, bevor die Kraft ausgeübt wurde, und würde im stationären Zustand gegen Null gehen, wenn der viskose Widerstand an den Wänden enthalten ist.

In dem Fall, in dem das Rohr wie ein Torus geschlossen ist, wird die Strömung immer noch durch die Navier-Stokes-Gleichungen bestimmt. Die Impulsgleichung in Polarkoordinaten (r, $\theta$ , z) lässt sich reduzieren zu:

\begin{array}{rcl} θ : F_{θ} & = & - v (\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R} (R \frac{\partial v_{θ}}{\partial R}) + \frac{\partial^{2} v_{θ}}{\partial z^{2}} - \frac{v_{θ}}{R^{2}}) \\ R : \frac{\partial P}{\partial R} & = & ρ \frac{v_{θ}^{2}}{R} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \theta: f_\theta&=&-\nu (\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial V_\theta}{\partial r})+\frac{\partial^2 V_\theta}{\partial z^2}-\frac{V_\theta}{r^2})\\ r: \frac{\partial p}{\partial r}&=&\rho \frac{V^2_\theta}{r} \end{eqnarray*}$

Die einzige Komponente der Geschwindigkeit ist in der $\theta$ (Umfangs-)Richtung. Die erste Linie ist die Körperkraft, die durch die Wandreibung und die ausgeglichen wird $\frac{\partial p}{\partial r}$ in der zweiten Linie ist notwendig, um die Zentripetalkraft für die gekrümmten Stromlinien bereitzustellen. Dies ist jedoch jetzt eine zweidimensionale PDE, und ich denke, es ist ziemlich unwahrscheinlich, dass Sie in der Lage sind, eine einfache Funktion zu integrieren oder zu finden, um sie zu erfüllen - um das Geschwindigkeitsprofil zu finden, müssten Sie an dieser Stelle wahrscheinlich auf CFD zurückgreifen.

Die Poiseuille-Gleichung hat eine schöne, einfache Lösung, weil sie achsensymmetrisch und effektiv eindimensional ist.

Aber gibt es eine allgemeine Gleichung zur Beschreibung dieser Strömungen? Gibt es eine Möglichkeit, die genaue Gleichung für das Geschwindigkeitsprofil zu finden?
Nein, es gibt keine allgemeine Lösung für die NS-Gleichungen. Oder genauer gesagt, wir kennen keinen und wissen nicht einmal, ob einer möglich ist oder nicht. In einigen Situationen können Sie möglicherweise Lösungen finden, aber die Methoden, die sich als effektiv erweisen, ändern sich je nach Situation und getroffenen Annahmen.
Entschuldigung, ich wollte vorhin einen Kommentar hinzufügen, dass ich den letzten Teil meiner Antwort erweitert habe, um die Gleichungen genauer zu betrachten. Aber user3823992 hat Recht - es ist nicht möglich, eine analytische Lösung dafür zu finden.
Ja, mir ist bewusst, dass es keine allgemeine Lösung für die Navier-Stokes-Gleichung gibt (oder noch nicht). Aber ich meine, gibt es eine allgemeine Differentialgleichung, die gelöst werden muss, um diese Strömungen zu beschreiben, wie es Navier-Stokes ist. Aber NS bietet keine realistische Lösung für dieses Problem. Ich würde gerne einen allgemeinen Ansatz für diese Art von Problemen sehen.
Ich verstehe nicht - was ist am NS-Ansatz nicht realistisch? Das ist der allgemeine Unterschied. Gleichung für Flüssigkeitsströmung.
Danke für deine Antwort. Aber für das Rechteckrohr halte ich es noch nicht wirklich für realistisch. Wenn Sie eine Kraft anwenden, erwarte ich stattdessen eine Bewegung der Flüssigkeit $\vec{v}=0$
Du meinst für die erste Situation mit dem sinusförmigen Kraftfeld? Es unterscheidet sich nicht wirklich von einer hydrostatischen Situation, in der Sie einen vertikalen Druckgradienten haben, der die Schwerkraft ausgleicht. Dort haben Sie auch eine Körperkraft, aber keine Massenflüssigkeitsbewegung. Die Sache ist, wenn es eine Lösung für die Gleichungen gibt, die keine Bewegung erfordert, wird sie höchstwahrscheinlich korrekt sein - die Flüssigkeit wird sich nicht bewegen, es sei denn, es muss.
Das ist ein schönes Analogon. Danke für die Antwort. Aber wenn Sie einen Spezialfall wie Kollisionen mit verschiedenen Flüssigkeiten nehmen und ich die Navier-Stokes-Gleichung (numerisch) lösen möchte. Wie können Sie den resultierenden Druckgradienten finden, der auftreten kann?
@abcdef: Die Betrachtung verschiedener interagierender Flüssigkeiten wird viel komplizierter als die obige Situation. Sie würden modifizierte Navier-Stokes-Gleichungen benötigen, um mit einer Flüssigkeit mit mehreren Komponenten umzugehen. Wenn Sie fortgeschrittene Dinge wie diese analysieren müssen, benötigen Sie wahrscheinlich ein CFD-Paket der Spitzenklasse - nur so finden Sie Druck-/Geschwindigkeitsgradienten.

regel30 · Answer 2

Hallo @abcdef, das ist ein sehr interessantes Problem

Bis heute wurde keine (allgemeine) analytische Lösung für die NS-Gleichungen gefunden, eigentlich würden wir alle davon hören, da sie eine Million Dollar wert ist (siehe Millenniumspreis ).

Und obwohl es nicht bewiesen wurde, gibt es viele Hinweise darauf, dass die NS-Gleichungen die Flüssigkeitsbewegung beschreiben , solange die freie Weglänge zwischen den Flüssigkeitsmolekülen ausreichend klein genug ist, um als Kontinuum behandelt werden zu können.

In Sonderfällen, dh Problemstellungen, die Vereinfachungen zulassen (z. B. reibungsfreie oder inkompressible Strömung), können Lösungen zu den NS-Gleichungen gefunden werden. Es muss hier darauf hingewiesen werden, dass diese Vereinfachungen einen Fehler in das Ergebnis der Berechnung einführen. Dieser Fehler ist jedoch normalerweise klein genug, um vernachlässigbar zu sein (z. B. Inkompressibilität für $M\ll0.3$ ) oder der Fehler kann modelliert und sein Einfluss damit reduziert werden (z. B. Widerstand/Druckverlust kann unter der Annahme modelliert werden $\Delta p_{t} = f\left(p_{dyn}\right)$ )

Die Frage enthält einige Vereinfachungen

1D-Fluss
inkompressible Strömung
reibungsfreier Fluss
kein Druckunterschied
einatomiges Gas

Aufgrund dieser Vereinfachungen kann keine physikalische Lösung gefunden werden. Was im Grunde bedeutet, dass eine oder mehrere der Vereinfachungen nicht vertretbar sind. Das bedeutet nicht, dass die NS-Gleichungen diesen Fluss nicht beschreiben oder beschreiben können.

Wie bereits in anderen Antworten [1] erwähnt, könnte das Vernachlässigen oder Verhindern eines Druckunterschieds das Hauptproblem sein.

Unter der Annahme sehr kleiner Amplituden ( $\,q\,$ ) der Kraft dürfte die Druckdifferenz eine untergeordnete Rolle spielen. Allerdings macht die Vernachlässigung möglicher Viskositätseffekte die NS-Gleichungen unausgeglichen. Denn die Grundidee der NS-Gleichungen ist, dass der Impuls ausgeglichen ist.

Es scheint, als ob es keine einfache Lösung für dieses Problem gibt und ein iterativer Ansatz ausprobiert werden muss, um Druck, Körperkräfte und Geschwindigkeiten auszugleichen. Abhängig von der tatsächlichen Anwendung solcher Strömungen könnte auch die Annahme von einatomigen Gasen einer Überlegung bedürfen.

[1]: Kommentare von @user3823992

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