Stress Force - Den Cauchy Stress Tensor verstehen

wie zur Hölle.....? Eine mögliche Betrachtungsweise sieht so aus, betrachten wir eine kleine Würfellänge$l$, dann die Spannungskraft in der$i$te Richtung wirkt auf$j$tes Flächenelement ist$-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)*dA$Wo$dA=l^2$. Die Kraft im$i$te Richtung, die auf das andere Flächenelement einwirkt, parallel zu dem ersten ist$\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)*dA$, also die in der Gesamtspannung wirkende Kraft$i$Richtung ist

$$(\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k))*dA$$ Teilen Sie nun durch das Volumenelement$dV=dx_idx_jdx_k$und bedenke$dA=dx_idx_k$erhalten $$f_i^{(j)}=\frac{\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)}{dx_j}=\frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial x_j}$$ Dann Gesamtkraft pro Volumeneinheit in der$i$te Richtung ist durch Ihre gewünschte Gleichung gegeben

Ich bin 7 Jahre zu spät, aber ich antworte trotzdem in der Hoffnung, für jemand anderen nützlich zu sein.

Hinweis: Ich werde keinen Balken für Skalare verwenden, einen Balken für Vektoren (Hut für Versoren) und zwei Balken für Tensoren (der Kürze halber, wenn ich „Tensor“ sage, meine ich immer „Rang-2-Tensor“, aber natürlich Skalare und auch Vektoren sind Tensoren).

Einführung

Die Impulserhaltung eines generischen Fluids (egal ob kompressibel, viskos usw.) wird durch die Cauchy-Gleichung ausgedrückt:

$$\begin{equation} \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f} = \frac{\partial (\rho \bar{v})}{\partial t} + \nabla \cdot \bar{\bar{F}} \tag{1} \end{equation}$$ Ein bisschen unheimlich! Aber wenn Sie Zeit und Energie investieren wollen, um zu studieren, was ich schreibe, werde ich Ihnen die Bedeutung jedes Begriffs gut erklären und warum diese Gleichung die Impulserhaltung in einem Kontinuum darstellt. Es lohnt sich, die Cauchy-Gleichung zu studieren, da sie der Ausgangspunkt ist, um zur Euler-Gleichung (fragen Sie mich nicht, wie kommt es, dass Euler starb, bevor Cauchy geboren wurde) und der Navier-Stokes-Gleichung (diese ist definiert von Cengel- Cimbala als Eckpfeiler der Strömungsmechanik und das Studium ihrer Lösungen ist eines der sieben sogenannten "Millennium-Probleme").$\rho$Und$\bar{v}$sind Dichte und Geschwindigkeit, andere Begriffe werden in den nächsten Abschnitten definiert.

Definition 1: Spannungstensor$\bar{\bar{\sigma}}$

Das erste Problem besteht darin, einen Weg zu finden, Kräfte, die innerhalb des Kontinuums ausgeübt werden, mathematisch zu beschreiben. Die Idee ist, dies für jede infinitesimale imaginäre Oberfläche anzunehmen$d\bar{A}$innerhalb des Kontinuums existiert ein Tensorfeld vom Rang 2$\bar{\bar{\sigma}}$so dass$\bar{\bar{\sigma}} \cdot d\bar{A}$ist die Kraft$d\bar{F}$dass die "obere" Seite des Kontinuums (diejenige, die den winzigen Vektor enthält$d\bar{A}$) übt auf der anderen Seite aus. Wenn Sie zum ersten Mal mit Spannungstensor zu tun haben, werden Sie sich von diesem abstrakten Objekt vielleicht etwas abgestoßen fühlen: Schließlich sprechen wir normalerweise von Kräften, die zwischen verschiedenen Körpern ausgeübt werden, während wir hier eine winzige Oberfläche im Kontinuum haben, und diese Oberfläche teilt den Körper nicht in zwei Teile. Aber wenn Sie eine Weile nachdenken, werden Sie sehen, dass dies kein Problem ist: Sie können nicht eine winzige Oberfläche in das Fruchtfleisch schneiden und die zwischen den beiden Seiten wirkenden Kräfte messen, aber das bedeutet nicht, dass Kräfte innerhalb des Kontinuums ' Sie sind nicht vorhanden, sie existieren, und dies ist die vernünftige Art, sie zu beschreiben. Aber ist es das wirklich? Ich meine, eine weitere Ratlosigkeit könnte diese sein: Wer sorgt dafür, dass das Gesetz eingehalten wird?

$$\begin{equation} d\bar{F} = \bar{\bar{\sigma}} \cdot d\bar{A} \tag{2} \end{equation}$$ Realität richtig beschreiben? Nun ... wie so oft in der Physik versuchen wir es mit der einfacheren Hypothese (und oft hilft uns die Natur, weil die einfachere Hypothese funktioniert).$d\bar{F}$ist eine Funktion von$d\bar{A}$(und wir nehmen an, dass es proportional zu ist$dA=|d\bar{A}|$) und eine Abhängigkeit wie$d\bar{F} = k d\bar{A}$ist ausgeschlossen, weil, wie Sie sich vorstellen können (denken Sie an eine Torsion) und wie wir später sehen werden, im Allgemeinen$d\bar{F}$Und$d\bar{A}$können unterschiedliche Richtungen haben. Ein lineares Gesetz wie (2) ist also das einfachste, das wir verwenden können. Ich kann die Existenz des Spannungstensors nicht beweisen, ich gehe einfach davon aus, dass (2) funktioniert. A posteriori können wir (2) rechtfertigen, indem wir beobachten, dass es zusammen mit anderen Hypothesen zur Navier-Stokes-Gleichung führt, die einige experimentelle Bestätigungen hat.

Symmetrie des Spannungstensors

Wir werden überlegen$\bar{\bar{\sigma}}$symmetrisch, weil wir die Cauchy-Gleichung ausnutzen, um die Euler-Gleichung und die Navier-Stokes-Gleichung zu finden, und in diesen Kontexten sind Spannungstensoren konstruktionsbedingt symmetrisch. Wir haben also kein Problem und können den erweiterten Divergenzsatz (siehe unten) ausnutzen. Jedenfalls habe ich in Büchern gelesen, dass die Symmetrie einen tieferen Ursprung hat und dass ein allgemeiner Beweis geführt werden kann. Um ehrlich zu sein, habe ich diese Beweise nicht verstanden, weil sie unter Ausnutzung des Rotationsgleichgewichts funktionieren, ohne dies zu rechtfertigen, aber wir müssen hier nicht in die Tiefe gehen, wenn unsere endgültigen Ziele die Cauchy-Gleichung, die Euler-Gleichung und die Navier-Stokes-Gleichung sind.

Kurz gesagt, die Symmetrie des Spannungstensors ist wesentlich , um die Cauchy-Gleichung und ihre Anwendung zu schreiben (in der ein zu ausgedehnter Divergenzsatz ausgenutzt wird), aber das ist kein großes Problem für uns: Wir werden eigentlich immer mit symmetrischen Spannungstensoren umgehen, so unsere Überlegungen über diese Probleme hier aufhören.

Definition 2: Vektor$\bar{f}$

$\bar{f}$ist ein Vektor, der mit der Dichte multipliziert wird$\rho$sie gibt die Dichte der Körperkräfte an (Kräfte, die durch das Volumen des Körpers wirken, im Gegensatz zu Kontaktkräften)

$$\begin{equation} \rho \bar{f} = \frac{d\bar{F}_{body}}{dV} \tag{3} \end{equation}$$ Beachten Sie, dass$\bar{g}\rho = \bar{g}\frac{dm}{dV}=\frac{\bar{g}dm}{dV}=\frac{d\bar{F}_{grav}}{dV}$Wo$d\bar{F}_{grav}$ist die Kraft, die durch die Schwerkraft auf den betrachteten Teil der Flüssigkeit ausgeübt wird: Typischerweise ist die Körperkraft auf die Schwerkraft zurückzuführen, und wir können sie identifizieren$\bar{f}$mit Gravitationsfeld. Dies ist das Beste, was Sie jetzt tun können, um nicht von Dingen abgelenkt zu werden, die hier nicht wesentlich sind (wie auch immer, ich werde weiterhin eine allgemeinere verwenden$\bar{f}$Symbol: Körperkräfte können auch elektromagnetischen Ursprungs sein, oder darauf zurückzuführen sein, dass wir uns nicht in einem Inertialsystem befinden).

Definition 3: Massenfluss und Impulsfluss$\bar{\bar{F}}$

Da können wir ein Vektorfeld definieren$\bar{J}$(wahrscheinlich ist es dem Leser bereits bekannt), der den Massenfluss beschreibt, dh so definiert, dass

$$\begin{equation} \bar{J} \cdot d\bar{A} = \frac{dm}{dt} \qquad \textrm{($dm$ = mass through $d\bar{A}$ in its direction during $t\to t+dt$)} \tag{4} \end{equation}$$ ähnlich können wir ein Tensorfeld definieren$\bar{\bar{F}}$(weniger bekannt), der den Impulsfluss beschreibt, dh so definiert, dass $$\begin{equation} \bar{\bar{F}} \cdot d\bar{A} = \frac{d\bar{p}}{dt} \qquad \textrm{($d\bar{p}$ = momentum through $d\bar{A}$ in its direction during $t\to t+dt$)} \tag{5} \end{equation}$$ Im Gegensatz zu dem, was mit dem Spannungstensor gemacht wurde, kann ich die Existenz von beweisen$\bar{\bar{F}}$Wenn ich es finde, mache ich es später.

Beweise es$\bar{J}=\rho\bar{v}$

Das Flüssigkeitsvolumen, das durchfließt$d\bar{A}$rechtzeitig$dt$ist (ggf$d\bar{A}$ist klein und ignoriert infinitesimale Volumina höherer Ordnung) das Produkt von$v dt$mal die schattierte Fläche in der Abbildung, das heißt$dA \cos \theta$Wo$\theta$ist der Winkel dazwischen$\bar{v}$Und$d\bar{A}$.

Wir schließen diese Messe ab$d\bar{A}$rechtzeitig$dt$Ist,$dm = \rho v dA \cos \theta dt = \rho \bar{v} \cdot d\bar{A} dt$. Mit der Beobachtung von (4) ist der Beweis beendet.

Pause: einige Konventionen

Um fortzufahren, ist es besser, einige Konventionen und Notationen einzuführen. In kartesischen Koordinaten ist das äußere Produkt zwischen zwei Vektoren per Definition der Tensor

$$\begin{equation}\tag{6} \bar{A} \otimes \bar{B} = \begin{pmatrix} A_x B_x & A_x B_y & A_x B_z \\ A_y B_x & A_y B_y & A_y B_z \\ A_z B_x & A_z B_y & A_z B_z \end{pmatrix} \end{equation}$$ Ich füge hinzu, dass es bei Berechnungen praktisch ist, Vektoren auf ihre "natürliche" Weise als Spalten zu schreiben, und dass das innere (das übliche Punktprodukt) und das äußere Produkt gewinnbringend als Matrixprodukt angesehen werden können

• im Skalarprodukt transponieren wir Term ersten Term

• im äußeren Produkt transponieren wir den zweiten Term

Sie können nicht protestieren, das sind Definitionen, das ist die Grammatik, mit der ich die Gleichungen schreiben werde. Beachten Sie, dass (6) als angesehen werden kann$\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_x & B_y & B_z \end{pmatrix}$, und Sie können leicht erkennen, warum die Konvention mit innerem (dh Punkt-) Produkt funktioniert. Wir werden immer mit symmetrischen Tensoren umgehen (ihre Darstellung wird eine symmetrische Matrix sein), sodass die Transposition von Tensoren im Folgenden ignoriert werden kann (aber die Transposition von Vektoren ist wichtig).

Beweise es$\bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \otimes \bar{v}$

Betrachten wir die$\bar{J}=\rho\bar{v}$nachweisen. Wie gesehen, die Masse durch$d\bar{A}$rechtzeitig$dt$Ist$\rho \bar{v} \cdot d\bar{A} dt$. Durch Multiplikation mit$\bar{v}$Ich finde Schwung$d\bar{p} = \rho (\bar{v}\cdot d\bar{A}) dt \bar{v}$. Beobachtung (5) und unsere These$\bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \otimes \bar{v}$, sehen wir, dass wir das beweisen müssen, um den Beweis zu beenden

$$\begin{equation} (\bar{v} \cdot d \bar{A}) \bar{v} = (\bar{v} \otimes \bar{v}) \cdot d\bar{A} \end{equation}$$ dh $$\begin{equation} \left[ \begin{pmatrix} v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dA_x \\ dA_y \\ dA_z \end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x v_x & v_x v_y & v_x v_z \\ v_y v_x & v_y v_y & v_y v_z \\ v_z v_x & v_z v_y & v_z v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dA_x \\ dA_y \\ dA_z \end{pmatrix} \end{equation}$$ Sie können sich beispielsweise auf die konzentrieren$x$Komponente und überprüfen Sie, ob es sich um eine Identität handelt.

Erweiterter Divergenzsatz

Überall in Büchern, Websites, YouTube usw. wird bis zum Erbrechen über den gewöhnlichen Divergenzsatz gesprochen, aber fast niemand spricht über den erweiterten, der fast ebenso wichtig ist. Ich habe es diesen Sommer im Buch von Cengel-Cimbala gefunden (dem ich den Namen gestohlen habe, ich nannte es "Theorem der alternativen Divergenz"), und ich finde es seltsam, dass es nicht die angemessene Bedeutung erhält, die es in der Literatur haben sollte. Wenn es Sie interessiert, finden Sie einen Beweis in meiner Stack Exchange-Antwort auf "Wie enthält das elektrische oder magnetische Feld Impuls"? Der Satz besagt, dass bei einem symmetrischen Tensorfeld$\bar{\bar{M}}$innerhalb eines Volumes definiert$V$durch eine Fläche begrenzt$S$, haben wir (beachten Sie, dass wir auf beiden Seiten Vektoren haben)

$$\begin{equation} \int_V (\nabla \cdot \bar{\bar{M}}) d V = \oint_S \bar{\bar{M}} \cdot d \bar{A} \tag{7} \end{equation}$$

Beweis der Cauchy-Gleichung

Betrachten wir eine Portion Flüssigkeit$V$(nicht unbedingt klein). Die Nettokraft, die durch die Flüssigkeit darauf ausgeübt wird, ist$\bar{F}_{net} = \oint_S d \bar{F}_{sup}$Wo$S$ist die Oberflächenbegrenzung$V$Und$d\bar{F}_{sup}$sind Kraft, die auf eine infinitesimale Oberfläche wirken, die machen$S$. Unter Ausnutzung der zuvor gegebenen Definition des Spannungstensors schreiben wir$\bar{F}_{net} = \oint_S \bar{\bar{\sigma}} \cdot d \bar{A} = \int_V \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} dV$, wo ich (7) ausgenutzt habe (wie gesagt, ich werde nur den symmetrischen Spannungstensor verwenden, damit ich ihn verwenden kann). Bitte beachte, dass$\nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}}$ist eine Kurzbezeichnung für

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \end{equation}$$ $\rho \bar{f} dV$ist die Körperkraft (nicht Kontaktkraft), die auf das Elementarvolumen wirkt, so dass die Summe der Körperkräfte gegeben ist durch$\int_V \rho \bar{f} dV$. Wir schließen diese Gesamtkraft auf$V$kann so geschrieben werden: $$\begin{equation} \int_V ( \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f}) dV \end{equation}$$ Es muss gleich sein$\frac{d\bar{p}}{dt}$, das hat zwei Terme. Einerseits offensichtlich$\rho \bar{v}$ist die Impulsdichte und somit haben wir einen Begriff$\frac{d}{dt} \int_V \rho \bar{v} dV = \int_V \frac{\partial(\rho \bar{v})}{\partial t} dV$. Andererseits müssen wir das Momentum berücksichtigen, das im Intervall$t \to t + dt$, geht durch die Oberfläche, die das Volumen umhüllt. Das haben wir gesehen$\frac{d\bar{p}}{dt} =\bar{\bar{F}} \cdot d\bar{A}$(per Definition Con-Impuls-Fluss$\bar{\bar{F}}$), So$\frac{d\bar{p}}{dt} = \int_S \bar{\bar{F}} \cdot d \bar{A} = \int_V \nabla \cdot \bar{\bar{F}} dV$, wo wir wieder (7) (den Tensor$\rho \bar{v} \otimes \bar{v}$offensichtlich symmetrisch ist, siehe obige Definition des äußeren Produkts). Alles zusammengenommen können wir schreiben$\int_V \left( \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \rho \bar{f} - \frac{\partial (\rho \bar{v})}{\partial t} - \nabla \cdot \bar{\bar{F}} \right) dV=0$. Die Gleichung muss für alle gelten$V$also ist der Integrand Null und die Cauchy-Gleichung ist bewiesen.

Materielles Derivat

Definieren wir die materielle Ableitung als Operator (das Symbol$\otimes$wird oben erklärt: mach dir keine Sorgen, jetzt musst du es einfach als gut definierten Operator verwalten, um kürzere Gleichungen zu haben, lerne, was es tut )

$$\begin{equation} \frac{D}{Dt} = \frac{\partial }{\partial t} + \bar{v} \cdot \nabla \otimes \tag{8} \end{equation}$$ Normalerweise Symbol$\otimes$wird in materiellen Ableitungen weggelassen, aber ich finde, es ist besser, es explizit zu schreiben, um mit der zuvor eingeführten Konvention übereinzustimmen und dies zu betonen$\nabla \otimes \bar{v}$die Kolumne$\bar{v}$muss transponiert werden, um einen Tensor auf Rang 2 zu erhalten. Es gäbe viele Dinge über die Materialableitung zu sagen, das ist eine Brücke zwischen der Lagrange-Ansicht und der Euler-Ansicht bei der Beschreibung von Flüssigkeiten, und das kann ausgenutzt werden, um die Cauchy-Gleichung direkt unter Verwendung des zweiten Newton-Gesetzes zu beweisen, aber ich kann keine Antwort umwandeln ein Buch, und wenn Sie die Cauchy-Gleichung kompakter schreiben möchten, können Sie die materielle Ableitung als bequeme Definition verwenden, um kürzere Formeln zu schreiben.

Bitte beachten Sie die oben beschriebenen Regeln zum äußeren Produkt und denken Sie daran$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x} , \frac{\partial}{\partial y} , \frac{\partial}{\partial z} \right)$, wir haben das

$$\begin{equation} \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} = \begin{pmatrix} v_x & v_y & v_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{ \partial v_x}{ \partial x} & \frac{ \partial v_y}{ \partial x} & \frac{ \partial v_z}{ \partial x} \\ \frac{ \partial v_x}{ \partial y} & \frac{ \partial v_y}{ \partial y} & \frac{ \partial v_z}{ \partial y} \\ \frac{ \partial v_x}{ \partial z} & \frac{ \partial v_y}{ \partial z} & \frac{ \partial v_z}{ \partial z} \end{pmatrix} \end{equation}$$ dh jede Komponente dieses Vektors ist die Summe von drei Termen.

Eine kürzere Version der Cauchy-Gleichung

Ein alternativer kürzerer Weg, um die Cauchy-Gleichung zu schreiben, ist

$$\begin{equation} \frac{D \bar{v}}{Dt} =\frac{1}{\rho} \nabla \cdot \bar{\bar{\sigma}} + \bar{f} \tag{9} \end{equation}$$ wo ich das oben geschriebene Materialderivat ausgenutzt habe. Wenn wir (8) verwenden und mit (1) vergleichen, sehen wir, dass wir, um zu beweisen, dass (1) und (9) gleich sind, beweisen müssen, dass die folgende Gleichung eine Identität ist $$\begin{equation} \dot{\rho} \bar{v} + \nabla \cdot \bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} \tag{10} \end{equation}$$ Ausnutzen der Kontinuitätsgleichung$\dot{\rho} = - \nabla \cdot (\rho \bar{v})$wir können (10) auf diese Weise schreiben $$\begin{equation} \nabla \cdot \bar{\bar{F}} = \rho \bar{v} \cdot \nabla \otimes \bar{v} + (\nabla \cdot (\rho \bar{v}) ) \bar{v} \end{equation}$$ Bedenke das jetzt$\bar{\bar{F}}$kann als äußeres Produkt des Vektors angesehen werden$\rho \bar{v}$mit Vektor$\bar{v}$, um den Prof zu beenden, müssen wir also zeigen, dass die folgende Identität wahr ist $$\begin{equation} \nabla \cdot (\bar{A} \otimes \bar{B}) = \bar{A} \cdot \nabla \otimes \bar{B} + ( \nabla \cdot \bar{A} ) \bar{B} \end{equation}$$ Wenn Sie die Operatordefinitionen in der obigen "Pause" gelernt haben, ist die Überprüfung dieser Identität lang, aber nicht schwierig, da es auf den ersten Blick erscheinen mag (beachten Sie, dass es im Mittelbegriff keine Klammern gibt, aber es stellt sich heraus, dass die Reihenfolge gleichgültig ist ), also ist (9) bewiesen.

Machen wir es der Einfachheit halber in 1D: Sie betrachten einen Teil des Fadens der Länge$dL$und Abschnitt$S$, mit einer Nettokörperkraftdichte$f$, sagen$f=\rho S g$Wo$\rho S$ist die lineare Massendichte. An$dL$, du hast auch Stress vom Rest des Threads, die sind$T_+ = \sigma_{zz} (z+dL) S$Bei der$z+dL$Ende und$T_- = -\sigma_{zz}(z) S$am anderen Ende.

So:$\rho S a_z dL = T_+ + T_- + f dL$. Teilen durch$dL$und stellen Sie es auf 0, um das wiederherzustellen$\partial_z \sigma_{zz}$Begriff.

Erinnern Sie sich an den Divergenzsatz von Gauß, mit dem:

$$\sum_j \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j}dV = \sigma_{ij}dS_j$$

Daher ist die Gleichgewichtsgleichung nicht länger mysteriös, und die Summe der Kräfte sind die inneren Kräfte$F_{int,i} = f_i\text{d}V$zuzüglich der auf die Oberfläche wirkenden Kräfte$F_{sup,i} = \sigma_{ij}\text{d}S_j$:

$$F_{int,i} + F_{sup,i} = \rho a_i\text{d}V = \text{d}m\ a_i$$

Um zu verstehen, warum die Komponenten des Spannungstensors als Kräfte an der Oberfläche verstanden werden können, muss man nur über diese Darstellung nachdenken:

Wikipedia-Artikel mit Cauchy-Stress .