Spannungsberechnungen in einem perforierten Papier

Ja. Der Riss wird bei Belastungskonzentrationen um die Löcher eingeleitet, wo die Belastung am höchsten ist. Nach der Einleitung breitet sich der Riss weiter entlang der Linie der höchsten Spannung aus.

Spannung ist eine Funktion von Kraft und Geometrie ($\sigma_{n} = \frac {F}{A_{n}}$). In einem Stück Papier ohne Löcher ist die Spannung gleichmäßig, und das Papier reißt, wenn die Spannung die endgültige Zugfestigkeit des Papiers überschreitet ($\sigma_{n} \gt \sigma_{UT, paper}$).

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Durchschnittlicher Stress – die grundlegendste Erklärung

Wenn Löcher vorhanden sind, reduzieren sie effektiv die Querschnittsfläche ($A_{eff} = A_{o} - n_{holes}A_{hole}$) ^* die Kraft überträgt. Das statische Gleichgewicht erfordert, dass die Spannung proportional zur Flächenverringerung zunimmt, wie unten dargestellt.

$$\therefore \sigma_{eff} = \frac {F}{A_{eff}}$$

Weil$\sigma_{eff} \gt \sigma_{n}$, folgt daraus, dass das Papier entlang Querschnitten reißt, wo Löcher vorhanden sind. Während dies die durchschnittliche Spannung korrekt berechnet, wird davon ausgegangen, dass die Spannung zwischen den Löchern gleichmäßig ist (und gleich der durchschnittlichen Spannung). In Wirklichkeit ist das Belastungsprofil zwischen Löchern nicht einheitlich, wie im Folgenden diskutiert wird.

^* Beachten Sie, dass sich „Fläche“ auf die Querschnittsfläche bezieht

Belastungskonzentrationen – ungefährer Belastungszustand

Spannungskonzentrationen beschreiben den Spannungszustand bei abrupten Geometrieänderungen, bei denen das Spannungsprofil ungleichmäßig ist. Analog zu Drucklinien in (laminaren) Fluidströmungen um einen eingetauchten Körper „fließen“ Kraftlinien durch die Geometrie und konzentrieren sich um die Löcher (wo kein Material zur Kraftübertragung vorhanden ist).

Ein Stresskonzentrationsfaktor ($K_{s}$) wird auf die Nennspannung angewendet, um die maximale Spannung zu berechnen, wobei$\sigma_{max} = K_{s}\sigma_{n}$. Spannungskonzentrationsfaktoren hängen von der Geometrie ab und werden analytisch oder durch experimentelle Daten bestimmt. Aus der analytischen Lösung einer unendlichen Platte mit einem einzigen Loch, einachsig belastet,$K_{s} = 3$. Anwendbarer ist aus Petersons Stress Concentration Factors eine unendliche Platte mit einem linearen Lochmuster:

$$\therefore \sigma_{SC} \approx 3 \sigma_{n}$$

Finite-Elemente-Methode - vollständiger Spannungszustand

Vollständige, genaue Lösungen lassen sich leicht durch Finite-Elemente-Methoden (FEM) erhalten, bei denen analytische Lösungen mit komplexer Geometrie nicht möglich sind. Mit angenommenen Dimensionen (ähnlich dem gestellten Problem),$K_{s} = 3.75$, bestimmt aus der unten gezeigten konvergierten Lösung (wobei „hellere“ Farben eine höhere Spannung anzeigen, die mit der durch die Spannungskonzentration gegebenen Lösung übereinstimmt).

$$\therefore \sigma_{FEM} = 3.75 \sigma_{n}$$

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Alle Lösungsmethoden zeigen, dass die Spannung in Querschnitten ansteigt, in denen Löcher vorhanden sind: Wenn die Spannung an einer beliebigen Stelle im Papier die Festigkeit des Papiers übersteigt ($\sigma_{max} \gt \sigma_{UT, paper}$), wird ein Riss initiiert und folgt der Linie der höchsten Spannung – dies bestätigt Ihre Einsicht.

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Es gibt mehrere andere Überlegungen, die nicht diskutiert, aber unter "Referenzen" aufgeführt sind:

• Papier ist kein duktiles Material – es verformt sich nicht plastisch
• Papier ist (normalerweise) nicht isotrop – es ist orthotrop, wobei seine Festigkeit von der Orientierung abhängt
• Bruchmechanik (basierend auf der Annahme, dass alle Materialien Defekte haben) – Materialunregelmäßigkeiten wirken als Mikrospannungskonzentrationen

Verweise:

Mechanische Eigenschaften von Papier-Basic

Mechanische Eigenschaften von Papier-Advanced

Bruchmechanik von Papier