Was ist die physikalische Bedeutung der dritten Invariante der deviatorischen Dehnung?

Wenn$E\equiv \varepsilon_{dev}$beschreibt dann einen Spannungszustand$-E$beschreibt einen Kompressionszustand. Jetzt,$I_2(E)=I_2(-E)$bedeutet, wie Sie sagen, das$I_2$Traktion kann nicht von Kompression unterschieden werden. Allerdings in 3D,$\det(-E)=-\det(E)$. Daher,$E$Und$-E$haben entgegengesetzte dritte Invarianten. Dieser Unterschied kann ausgenutzt werden, um Ertragsfunktionen aufzubauen, die Traktion von Kompression unterscheiden.

Ich weiß nicht, ob$I_3$eine direkte "physikalische Bedeutung" hat oder nicht. Dies ist jedoch die einzige verfügbare Wahl für isotrope Materialien. Erinnern Sie sich an die Fließfunktion für ein isotropes Material$f$muss eine isotrope Funktion von sein$E$; das ist

$$f(E) = f(RER')$$ für jede Drehung $R$und seine Umkehrung $R'$. In diesem Fall, $f$kann als Funktion der Invarianten geschrieben werden: $f(E)=f(I_1,I_2,I_3)$. Aber $I_1=0$Und $I_2$ist gerade, was bedeutet, dass die einzige Möglichkeit, Zug von Kompression in isotropen Materialien zu unterscheiden, darin besteht, an zu schreiben $I_3$-abhängiges Fließkriterium.

Für einen General$3\times 3$Matrix $\mathbf{A haben Sie:

$$I_3 = \frac{1}{3!}[\mbox{tr}(\mathbf{A})^3 - 3\mbox{tr}(\mathbf{A}^2)\mbox{tr}(\mathbf{A}) + 2\mbox{tr}(\mathbf{A}^3)]$$

Wenn Sie haben$\text{tr}(\mathbf{A}) = 0$(Dies ist der Fall bei$\mathbf{A} = \boldsymbol{\varepsilon}_{dev}$), dann bekommst du:

$$I_3 = \frac{1}{3} \text{tr}(\mathbf{A}^3)$$

Für den deviatorischen Dehnungstensor gilt also:

$$I_3(\varepsilon_{dev}) =: J_3 = \frac{1}{3} \text{tr}(\varepsilon_{dev}^3) = \det(\varepsilon_{dev})$$

Daher benötigen Sie diese zusätzliche Invariante, um Zugspannung von Druckspannung zu unterscheiden, weil$I_2(\varepsilon_{dev})$ändert bei der Transformation nicht das Vorzeichen$\varepsilon_{ij}\mapsto -\varepsilon_{ij}$, Weil:

$$I_2(\varepsilon_{dev}) =: J_2 = \frac{1}{2} \text{tr}(\varepsilon_{dev}^2)$$