Hookes Gesetz und objektive Stressraten

Question

Hookes Gesetz und objektive Stressraten

Physik
Stress-Belastung
Solid-Mechanik
Tensorkalkül
Kontinuumsmechanik
lagrangescher Formalismus

Mathias

In Artikeln, in denen aktualisierte Lagrange-Simulationsmethoden für die Festkörperdynamik vorgestellt werden, wird häufig das folgende Verfahren zur Aktualisierung des (Cauchy-)Spannungstensors vorgestellt:

Zunächst wird der Cauchy-Spannungstensor in einen hydrostatischen und einen deviatorischen Teil zerlegt:

σ^{ich J} = - P δ^{ich J} + S^{ich J}

$\sigma^{ij} = -p\delta^{ij} + S^{ij}$

Der Druck wird unter Verwendung einer Zustandsgleichung ermittelt. Häufig wird der folgende isotherme Ansatz verwendet:

P = C_{0}^{2} (ρ - ρ_{0})

$p = c_0^2(\rho - \rho_0)$

$c_0^2$ die adiabatische Schallgeschwindigkeit ist, $\rho$ die Dichte u $\rho_0$ die Bezugsdichte. Dann wird festgestellt, dass das Hookesche Gesetz angenommen wird und sich der deviatorische Teil des Spannungstensors wie folgt entwickelt:

\frac{D S^{ich J}}{D T} = 2 μ ({\dot{ϵ}}^{ich J} - \frac{1}{3} δ^{ich J} {\dot{ϵ}}^{k k}) + S^{ich J} Ω^{J k} + Ω^{ich k} S^{k J}

$\frac{dS^{ij}}{dt} = 2\mu(\dot{\epsilon}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}\dot{\epsilon}^{kk}) + S^{ij}\Omega^{jk} + \Omega^{ik}S^{kj}$

Wo $\mu$ ist der Schermodul,

Ω^{ich J} = \frac{1}{2} (\frac{δ v^{ich}}{δ X^{J}} - \frac{δ v^{J}}{δ X^{ich}})

$\Omega^{ij} = \frac{1}{2} (\frac{\delta v^i}{\delta x^j} - \frac{\delta v^j}{\delta x^i})$ ist der Spintensor und

{\dot{ϵ}}^{ich J} = \frac{1}{2} (\frac{δ v^{ich}}{δ X^{J}} + \frac{δ v^{J}}{δ X^{ich}})

$\dot{\epsilon}^{ij} = \frac{1}{2} (\frac{\delta v^i}{\delta x^j} + \frac{\delta v^j}{\delta x^i})$ ist der Deformationstensor. Jetzt seit:

\dot{σ} = \overset{Δ J}{σ} + σ \cdot Ω + Ω \cdot σ

$\dot{\sigma} = \overset{\Delta J}{\sigma} + \sigma\cdot\Omega + \Omega\cdot\sigma$

Wo $\overset{\Delta J}{\sigma}$ ist die Jaumann-Rate, die gilt:

{\overset{Δ J}{σ}}_{ich J} = 2 μ ({\dot{ϵ}}^{ich J} - \frac{1}{3} δ^{ich J} {\dot{ϵ}}^{k k})

$\overset{\Delta J}{\sigma}_{ij} = 2\mu(\dot{\epsilon}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}\dot{\epsilon}^{kk})$

Nun zu meinen Fragen:

Wie kommt man auf die obige Gleichung für die Jaumman-Rate? Oder insbesondere, wie ergibt die Annahme des Hookeschen Gesetzes diese Gleichung für die Jaumann-Rate?
Gilt diese Gleichung für die Jaumann-Rate auch für andere objektive Stressraten? Zum Beispiel für die Truesdell-Rate , die ein Stress-Update wie folgt gibt:

\frac{D S}{D T} = 2 μ (\dot{ϵ} - \frac{1}{3} 1 T R (\dot{ϵ})) - T R (\dot{ϵ}) S + \dot{ϵ} \cdot S + S {\dot{ϵ}}^{T}

$\frac{dS}{dt} = 2\mu(\dot{\epsilon} - \frac{1}{3}\mathbf{1}{\rm Tr}(\dot{\epsilon})) - {\rm Tr}(\dot{\epsilon})S + \dot{\epsilon}\cdot S + S\dot{\epsilon}^T$

( $\rm Tr(.)$ die Spur sein)

Antworten (1)

Hookes Gesetz und objektive Stressraten

user_of_math · Answer 1

Sie wissen wahrscheinlich, dass die Cauchy-Spannungen zwar objektiv sind, ihre Spannungsrate (Materialableitung) jedoch nicht. Wenn $Q(t)$ ist ein orthogonaler Tensor, der einen Wechsel des Rahmens darstellt, wobei die Betonung der neue Rahmen ist

T^{*} = Q T Q^{T}

$T^* = Q T Q^T$

Wenn Sie jedoch auf beiden Seiten materielle Derivate nehmen, haben Sie

\dot{T^{*}} = \dot{Q} T Q^{T} + Q \dot{T} Q^{T} + Q T {\dot{Q}}^{T} (1)

$\dot{T^*} = \dot{Q} T Q^T + Q \dot{T} Q^T + Q T \dot{Q}^T \quad \quad (1)$

Die Terme 1 und 3 oben sind "zusätzlich" -> sie implizieren, dass die materielle Ableitung der Spannung naiv genommen wird $T$ erhalten Sie keine objektive Rate.

Ein ähnliches Problem ergibt sich aus dem "Spin"-Teil des Geschwindigkeitsgradiententensors $L$ , (Ich nenne es $W$ statt $\Omega$ ) ist nicht objektiv. dh, $L = W + D$ , aber während $D$ ist objektiv, $W$ ist nicht. Ausgehend von den ersten Prinzipien ist es nicht schwer zu zeigen (ich füge dieses Bit hinzu, wenn Sie möchten)

W^{*} = Q W Q^{T} + \dot{Q} Q^{T} (2)

$W^* = Q W Q^T + \dot{Q} Q^T \quad \quad (2)$

Auch wegen $Q$ ist orthogonal ( $Q^T=Q^{-1}$ ) hast du das Lemma

\dot{Q} Q^{T} = - Q {\dot{Q}}^{T}

$\dot{Q} Q^T = -Q \dot{Q}^T$

Wir können dieses zweite Problem tatsächlich verwenden, um eine Lösung für das erste zu konstruieren. Wir werden eliminieren $\dot{Q}, \dot{Q}^T$ von (1) wiederum. rechts (2) mit Q multiplizieren und neu anordnen; du hast

\dot{Q} = W^{*} Q - Q W

$\dot{Q} = W^* Q - Q W$ Transponieren Sie beide Seiten und Sie haben einen Ausdruck für

{\dot{Q}}^{T}

$\dot{Q}^T$ .

{\dot{Q}}^{T} = - Q^{T} W^{*} + W Q^{T}

$\dot{Q}^T = -Q^T W^* + W Q^T$ Das letzte Ergebnis nutzt die Tatsache, dass der Spintensor

W

$W$ ist schiefsymmetrisch.

Lassen Sie uns diese Ausdrücke durch ersetzen $\dot{Q},\dot{Q}^T$ wieder ein (1).

\dot{T^{*}} = (W^{*} Q - Q W) T Q^{T} + Q \dot{T} Q^{T} + Q T (- Q^{T} W^{*} + W Q^{T}) = W^{*} Q T Q^{T} - Q W T Q^{T} + Q \dot{T} Q^{T} - Q T Q^{T} W^{*} + Q T W Q^{T}) = W^{*} T^{*} - Q W T Q^{T} + Q \dot{T} Q^{T} - T^{*} W^{*} + Q T W Q^{T} \Rightarrow (beim Umstellen) \dot{T^{*}} + T^{*} W^{*} - W^{*} T^{*} = Q (\dot{T} + T W - W T) Q^{T}

$\dot{T^*} = (W^* Q - Q W) T Q^T + Q \dot{T} Q^T + Q T (-Q^T W^* + W Q^T) \\ \quad = W^* Q T Q^T - Q W T Q^T + Q \dot{T} Q^T - Q T Q^T W^* + Q T W Q^T) \\ \quad = W^* T^* - Q W T Q^T + Q \dot{T} Q^T - T^* W^* + Q T W Q^T \\ \Rightarrow \quad \text {(on rearranging)} \\ \quad \dot{T^*} + T^* W^* - W^* T^* = Q (\dot{T} + T W - W T) Q^T \\$

Beachten Sie, dass die rechte Seite die Form hat $Q R Q^T$ , und die linke Seite ist genau die eingeklammerte Größe im Referenzrahmen mit Sternen. Mit anderen Worten, wir haben eine Rate konstruiert $J = \dot{T} + T W - W T$ so dass $\dot{J^*} = Q J Q^T$ , was per definitionem objektiv ist. Sie können Ihre Gleichungen jetzt ganz einfach auf Elastizität spezialisieren.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Jaumann-Rate nur eine von unendlich vielen objektiven Stressraten ist. Im Allgemeinen sind Lie-Ableitungen objektiver Tensorfelder objektiv.

Beachte @Matthias: Dein Ausdruck bezieht sich auf die Jaumann-Rate und $\dot{\sigma}$ hat ein Vorzeichenproblem.
Vielen Dank für Ihre umfangreiche Antwort. Ihre Herleitung der Jaumann-Rate ist übersichtlich und leicht nachvollziehbar. Ich kämpfe jedoch immer noch damit, die Gleichungen "einfach" auf Elastizität zu spezialisieren. Könntest du vielleicht meine Fragen 1 & 2 konkret kommentieren? Es würde sehr geschätzt werden. (Aufwertung wegen mangelnder Reputation nicht möglich)
@Matthias: Sie können die folgende Seite sehen (nach unten zu 3.9.3 scrollen): solidmechanics.org/text/Chapter3_9/Chapter3_9.htm Beachten Sie, dass es sich um eine Annäherung handelt (nämlich, dass Spannungen viel kleiner als die Elastizitätsmoduln sind).
Achten Sie auch immer darauf, arbeitskonjugierte Größen in Ihren Spannungs-Dehnungs-Beziehungen zu verwenden.

Hookes Gesetz und objektive Stressraten

Mathias

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