Warum ist die partielle Ableitung der Dehnungsenergiefunktion in Bezug auf die Dehnung gleich der Spannung?

1. Ja, die Beziehung

$$\mathrm{stress}=d(\mathrm{strain\,energy\,density})/d(\mathrm{strain})$$ gilt für alle elastischen Körper, nicht nur für linear elastische Körper. Diese Gleichung impliziert, dass alle differentielle Arbeit in elastische Dehnungsenergie einfließt, was sogar für nichtlinear elastische Materialien (z. B. hyperelastische Materialien) gilt. Die Gleichung würde jedoch beispielsweise nicht auf die plastische Verformung zutreffen, bei der erhebliche Mengen an Arbeit in Wärme umgewandelt und durch die Bildung von Kristalldefekten aufgewendet werden.

2. In Bezug auf die Intuition hinter dieser Gleichung können wir sagen, dass jede Möglichkeit, einem System Energie hinzuzufügen, zwei Parameter (genannt thermodynamische konjugierte Variablen) beinhaltet: eine verallgemeinerte Kraft und eine verallgemeinerte Verschiebung. Das erste Semester ist intensiv; dh wenn Sie die Systemgröße verdoppeln, bleibt die generalisierte Kraft gleich. Der zweite Begriff ist umfangreich; Wenn Sie die Systemgröße verdoppeln würden, würde sich auch dieser Begriff verdoppeln.

Das einfachste Beispiel einer verallgemeinerten Kraft und Verschiebung ist eine tatsächliche Kraft$F$und Verschiebung$x$und die bekannten Gleichungen$w=\boldsymbol{F\cdot x}$Und$dw=F\,dx$für die Arbeit$w$. Ein weiteres Beispiel ist der Druck$P$und Lautstärke$V$:$dw=-P\,dV$, wobei das Minuszeichen erscheint, weil Druck komprimierend ist. Beachten Sie, wie ein Druckgradient, die intensive Variable, eine Volumenverschiebung, die extensive Variable, antreibt. Dieser Effekt ist allen diesen Paaren gemeinsam, deren Einheiten sich ausnahmslos multiplizieren, um Energieeinheiten zu ergeben.

(Auch beim Heizen gilt dieser Rahmen: die Systemenergie$U$steigt mit$T\,dS$, wo Temperaturgradienten$T$Antrieb Verschiebungen in der Entropie$S$. Auch hier multiplizieren sich die Einheiten zu Energieeinheiten.)

Noch ein weiteres Beispiel für ein konjugiertes Paar ist Stress und Belastung. Nun, eigentlich ist das nicht ganz richtig. Wenn Sie sich die Einheiten ansehen, sehen Sie, dass das Produkt aus Spannung und Dehnung Einheiten der volumetrischen Energie hat. Wir können also mit der elastischen Dehnungsenergiedichte oder dem, was Sie oben die Dehnungsenergiefunktion nennen, arbeiten$W$, oder wir können energetisch arbeiten, indem wir mit dem Volumen multiplizieren, wie in der fundamentalen Beziehung für ein geschlossenes System erster Ordnung unter allgemeiner mechanischer Belastung:$dU=T\,dS+\boldsymbol{\bar{\sigma}} V\,d\boldsymbol{\bar{\epsilon}}$, Wo$\boldsymbol{\bar{\sigma}}$Und$\boldsymbol{\bar{\epsilon}}$sind die Spannungs- bzw. Dehnungstensoren. (Wenn die Belastung Druck oder gleichachsige Druckspannung ist, dann finden wir das Vertraute wieder$dU=T\,dS-P\,dV$.)

3. Zur Ableitung Ihrer Sterngleichung habe ich Nye's Physical Properties of Crystals und Ugural & Fenster's Advanced Strength and Applied Elasticity überprüft , und sie gehen so vor, wie Sie es tun: Definieren Sie die Zunahme der Dehnungsenergie durch eine einachsige Last, die auf ein Differentialelement angewendet wird, und dann bis hin zum kompletten 3D-Case aufbauen. Für ein isotropes Material (das dem verallgemeinerten Hookeschen Gesetz gehorcht ) erhalten beispielsweise Ugural & Fenster eine Dehnungsenergiedichte von

$$W=\frac{1}{2E}\left(\sigma_{x}^2+\sigma_{y}^2+\sigma_{z}^2\right)-\frac{\nu}{2E}\left(\sigma_{x}\sigma_y+\sigma_{y}\sigma_z+\sigma_{x}\sigma_z\right)+\frac{1}{2G}\left(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2\right).$$

Warum ergibt die partielle Ableitung der Dehnungsenergie nach Dehnungskomponenten die Spannungskomponenten?

Da die volumetrische Dichte der elastischen potentiellen Energie (ich wette, das nennen Sie "Dehnungsenergiefunktion"), verwende ich die "$\Pi$"Buchstabe dafür) ist eine quadratische Form über dem Verformungstensor$\boldsymbol{\varepsilon}$

$$\Pi = \frac{1}{2} \boldsymbol{\varepsilon} {\cdot\cdot} \boldsymbol{M} {\cdot\cdot} \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} \sum_{a,b,c,d} \varepsilon_{ab} M_{abcd} \varepsilon_{cd}$$ wo der vierwertige Tensor$\boldsymbol{M}$mit Komponenten$M_{abcd}$ist der Tensor der Elastizitätsmoduln (Steifigkeitstensor).

Somit ist seine Ableitung

$$\frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}} = \boldsymbol{\varepsilon} {\cdot\cdot} \boldsymbol{M}, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial \varepsilon_{cd}} = \sum_{a,b} \varepsilon_{ab} M_{abcd}$$

Die zweite Ableitung ist nur der Steifigkeitstensor

$$\frac{\partial^2 \Pi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon} \partial \boldsymbol{\varepsilon}} = \boldsymbol{M}, \quad \frac{\partial^2 \Pi}{\partial \varepsilon_{ab} \partial \varepsilon_{cd}} = M_{abcd}$$ – dies kann als Definition genommen werden. Es ist symmetrisch über Indexpaare$M_{abcd} = M_{cdab}$, plus in jedem Paar aufgrund der Symmetrie von$\boldsymbol{\varepsilon}$:$M_{abcd} = M_{bacd}$,$M_{abcd} = M_{abdc}$

Und es gibt auch das Hookesche Gesetz in seiner abstraktesten Formulierung, das besagt, dass der Spannungstensor$\boldsymbol{\sigma}$ist gleich

$$\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \boldsymbol{\varepsilon} {\cdot\cdot} \boldsymbol{M} , \quad \sigma_{cd} = \sum_{a,b} \varepsilon_{ab} M_{abcd}$$

Schließlich ist hier die Energiedefinition dessen, was der Spannungstensor ist

$$\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}$$

Gilt diese Gleichung für alle elastischen Körper? Oder nur lineare Elastizität?

Nun, für die endliche Dehnungstheorie gibt es viele verschiedene Maße für Verformung (Dehnung) und viele verschiedene Maße für Spannung. Wenn Sie etwas Energie wollen, konjugieren Sie mit dem Verformungsgradienten$\boldsymbol{F}$, werfen Sie einen Blick auf den ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor$\boldsymbol{T}$, denn das ist

$$\boldsymbol{T} = \frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{F}}$$ (Hier$\Pi$ist immer noch die volumetrische Dichte der elastischen potentiellen Energie)
oder Sie möchten vielleicht den zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor$\boldsymbol{S}$, die mit der Cauchy-Green-Deformation energiekonjugiert ist$\boldsymbol{C}$ $$\boldsymbol{S} = \frac{\partial \Pi}{\partial \boldsymbol{C}}$$