Ursprung der Hauptsymmetrieeigenschaft des Elastizitätstensors

Sie sollten mit der Dehnungsenergiedichte beginnen$\psi$, dann definiere:

und dann definieren

Im Rest meiner Antwort geht es darum, zu erklären, warum Sie es so machen müssen. Erstens ist es körperlich, es gibt wirklich Energie, die mit Anstrengung verbunden ist, und wenn es keine gäbe, gäbe es keinen Stress. Zweitens ist es genau deshalb linear, weil wir die Energieänderungen aufgrund kleiner Dehnungen berücksichtigen.

Aber zurück zu den Nebensymmetrien. Wir brauchen$C_{ijkl}=C_{jikl}$weil sonst$\sigma_{ij}\neq\sigma_{ji}$(und dann erhalten wir für immer kleinere Regionen beliebig große, also unphysikalische Winkelgeschwindigkeiten). Aber die andere kleinere Symmetrie ist nicht erforderlich. Wenn Ihnen jemand einen zufälligen Tensor auf Rang vier gegeben hat, nennen wir ihn$B_{ijkl}$, und nannte es einen elastischen Tensor, und es hatte nicht die zweite Nebensymmetrie, die Sie definieren können$C_{ijkl}=(B_{ijkl}+B_{ijlk})/2$ $D_{ijkl}=(B_{ijkl}-B_{ijlk})/2$und dann$B=C+D$aber wenn D mit einem symmetrischen Tensor zweiten Ranges (wie dem Dehnungstensor) kontrahiert wird, ergibt es Null. Der Teil des Tensors auf Rang vier ohne diese zweite Moll-Symmetrie trägt also einfach nicht bei, als Schauspieler tut er nichts (wenn Sie glauben, dass die Elastizität Ihnen nur Stress durch Belastung gibt). Sie können also genauso gut davon ausgehen, dass Ihr Tensor beide Nebensymmetrien hat, weil er sich so verhält, als hätte er die zweite ($B$Und$C$wirken auf symmetrische Tensoren gleich) und es muss die erste haben.

Habe ich das pedantisch erzogen? Nein, ich habe es erwähnt, weil das Gleiche passiert, wenn man den Elastizitätstensor mit einer symmetrischen Kombination des Dehnungstensors vom vierten Rang kontrahiert. Der Teil des Elastizitätstensors ohne die Hauptsymmetrie trägt nicht zur Dehnungsenergiedichte bei. Ein zufälliger Tensor braucht also die erste kleine Symmetrie, um physikalisch zu sein. Aber Sie können genauso gut davon ausgehen, dass es die zweite kleine Symmetrie hat, da es das Spannungs-Dehnungs-Verhältnis nicht beeinflusst. Und Sie können genauso gut davon ausgehen, dass es die Hauptsymmetrie hat, da der Teil, der dies nicht tut, nicht zur Dehnungsenergiedichte beiträgt.

Aber es ist die Dehnungsenergiedichte, die physikalisch ist, und wie sie sich ändert, ist das, was Elastizität ist. Sie leiten diese Symmetrien also nicht wirklich ab, sondern sagen, dass nur die symmetrischen die physikalischen Dinge erzeugen, die Sie wollen, Energie, wenn sie belastet werden. Und eine echte Ableitung sollte mit der Dehnungsenergiedichte und Dehnung beginnen und dann einfach die Elastizität daraus definieren.

Seit$\epsilon$ein symmetrischer Tensor ist, hat er 6 unabhängige Komponenten, die ihn bestimmen. Verwenden Sie daher einen Multi-Index$I\in\{(i,j)|1\leq i\leq j\leq 3\}$sie zu bezeichnen. Die Dehnungsenergiedichte wird dann (vielleicht muss man hier mit "diagonalen" Termen vorsichtig sein, um die richtigen Koeffizienten zu erhalten)

Das Folgende ist im Grunde das, was Ashcroft/Mermin darüber sagt.

Die Idee ist wie folgt:

in harmonischer Näherung eine Relativverschiebung$u$ergibt eine Energie

$U=- \frac 1 4 (\vec{ u }(\vec R) - \vec{ u }(\vec R ')) \mathbf{D}(\vec{ u }(\vec R ') - \vec{ u }(\vec R))$

Der Tensor$\mathbf D$hat bereits eine natürliche Symmetrie$D_{\mu\nu}=D_{\nu\mu}$, was bedeutet, dass die Wechselwirkung symmetrisch ist. Annähern

$\vec{ u }(\vec R ') \approx \vec{ u }(\vec R )+ (\vec R -\vec R ')\nabla \vec u$

man bekommt

$U= \frac 1 2 \frac{\partial u_\mu}{\partial x_\sigma}R_\sigma D_{\mu\nu} R_\tau \frac{\partial u_\nu}{\partial x_\tau}=\frac 1 2 \frac{\partial u_\mu}{\partial x_\sigma}E_{\sigma\mu\tau\nu} \frac{\partial u_\nu}{\partial x_\tau}$

Es wird dann angegeben, dass die harmonische Energie von einer Rotation unbeeinflusst sein muss. Dazu muss die Energie von den Ableitungen der Form abhängen

$\epsilon_{\sigma\mu}=\frac 1 2(\frac{\partial u_\mu}{\partial x_\sigma}+\frac{\partial u_\sigma}{\partial x_\mu})$

Das ist so etwas wie eine Lifschitz-Invariante, denke ich. Es sollte nicht allzu schwer sein, das zu beweisen.

Es wird dann gesagt, dass die Energie in die Form geschrieben werden kann

22.78)$U=\frac 1 2 \epsilon_{\sigma\mu} c_{\sigma\mu\tau\nu} \epsilon_{\tau\nu}$

mit

22.79)$c_{\sigma\mu\tau\nu} = \frac 1 8 (E_{\sigma\mu\tau\nu}+E_{\mu\sigma\tau\nu}+E_{\sigma\mu\nu\tau}+E_{\mu\sigma\nu\tau})$

Betrachtet man die Definition von$E_{\sigma\mu\tau\nu}$dies stellt die Symmetrie der Sorge bereit. Es entsteht also aus der Forderung, dass die Energie bei Rotation invariant ist.

Im Moment habe ich jedoch einige Schwierigkeiten mit dem letzten Schritt (das ist Schritt 22.78 bis 22.79 in Ashcroft/Mermin, daher die Zahlen), da ich denke, dass er einige Ableitungen erzeugt, die in der ursprünglichen Form nicht vorhanden sind. Wenn jemand leicht erklären kann, warum das Formular 22,78 erfordert$c$von der Form 22.79 sein, würde ich mich über eine Erklärung freuen.