Ich versuche, eine isotrope lineare elastische Verformung in zwei Dimensionen zu modellieren. In einer Dimension weiß ich, dass man sich ein linear elastisches Material als eine Feder vorstellen kann, die dem Hookeschen Gesetz gehorcht . In zwei Dimensionen möchte ich ein Material beschreiben, das dem Hookeschen Gesetz in beiden Richtungen (der Einfachheit halber sagen wir in x- und y-Richtung) gehorcht. Ich möchte sagen, dass die Verformung in einer Richtung die Verformung in den anderen Richtungen nicht beeinflusst (dh isotrop ist).
Da es sich um zwei Dimensionen handelt, glaube ich nicht, dass die „Frühlings“-Analogie zutrifft. Gibt es ein analoges Objekt, das einer Feder ähnlich ist, aber das Hookesche Gesetz in einem zweidimensionalen isotropen Sinne befolgt? Da es zweidimensional ist, kann ich das Hookesche Gesetz auch so schreiben ? Gibt es eine andere Möglichkeit, das Hookesche Gesetz in höheren Dimensionen zu beschreiben?
Das Hookesche Gesetz wird häufig verwendet, um mehrdimensionale Materialien zu modellieren, da der Spannungstensor einfach (linear) ist. Der vollständige Ausdruck ist auf Wikipedia zu finden . Die Vereinfachung für 2D ist einfach (lassen Sie alle Begriffe mit einer 3 im Index weg). Beachten Sie, dass es eine Eigenschaft des Materials ist, ob sich die Verformung in einer Dimension auf die anderen auswirkt und sich durch die Poisson-Zahl ( ). Unabhängigkeit zwischen Verformungen in X und Y impliziert
Wenn man sich nur zwei rechtwinklige Federn vorstellt, dann sind die Terme mit (oder verschiedene Indizes wie 12, 23, 31, je nach Form der Gleichung) fallen aus dem Ausdruck heraus, da es sich um Scherterme handelt. Die Scherterme können als Feder über die Diagonale betrachtet werden. Der Spannungstensor ist definiert als die Kraft pro Flächeneinheit.
Paul