Spannungstensor in einem Würfel mit Scherkräften

Sie brauchen höchstwahrscheinlich keine Antwort mehr. Ich bin jedoch auf dieselbe Art von Inkonsistenz gestoßen und habe diesen Beitrag gefunden, sodass dieser Kommentar anderen wie mir helfen könnte. Ich verstehe, dass dies die Konfiguration ist, die Sie im Sinn haben ... sehr häufig verwendet, um Scherspannungen einzuführen:

Sie haben Recht: Einerseits können Sie in einer stationären Konfiguration keine Kraft auf eine freie Oberfläche (wie die vertikalen auf der linken und rechten Seite des Würfels) ausüben; Auf der anderen Seite braucht man einen symmetrischen Spannungstensor, sonst bekommt man Probleme mit dem Drehmoment der Oberflächenkräfte ... daran besteht kein Zweifel ... aber auf diese Weise erhält man auch eine Kraft ungleich Null auf diesen vertikalen Oberflächen. Guter Punkt, es macht keinen Sinn: Ich stimme zu.

Nun, heute habe ich stundenlang versucht zu verstehen, was ich hier nicht bekommen habe, und ... Junge - ich war am Anfang irgendwie schockiert - das Problem liegt in einer dummen Annahme, dh dass das, was in der obigen Abbildung gezeigt wird, WIRKLICH ist was passiert, wenn man einen würfel seitlich von der oberseite wegzieht und gleichzeitig verhindert, dass die unterseite auf dem boden rutscht. Das Problem ist, dass Sie einfach nicht diese schöne, gleichmäßige, diamantartige Verformung erhalten ... sondern etwas ziemlich Komplizierteres und definitiv Ungleichmäßiges. Der Grund für die von Ihnen erwähnte Inkonsistenz ist also, dass die "Lösung" in der Abbildung keine Lösung des mechanischen Problems ist.

Insbesondere (Balkentheorie kann hier helfen) würde ich sagen:

1. Wenn Sie die Unterseite betrachten, muss sie wirklich auf den Boden geklebt werden, da die linke Kante hochgezogen und die rechte gegen den Boden gedrückt wird. Seitliche Reibung reicht nicht aus, um zu verhindern, dass sich der Würfel dreht: Versuchen Sie es mit einem Schaumstoffwürfel und Sie werden sehen ...

2. Die Bodenfläche übt ein komplexes Kraftprofil mit verschiedenen Komponenten senkrecht zum Boden aus (je nach Position sowohl positiv als auch negativ). Dies gleicht das Drehmoment der Kraft auf der oberen Oberfläche aus, wenn äußere Kräfte nur an der oberen Oberfläche des Würfels ziehen.

3. Offensichtlich ist die Dehnung hier überhaupt nicht gleichmäßig ... es muss eine nicht triviale Biegung geben, insbesondere an der Basis des Würfels.

4. Seitenflächen sind frei und, Sie haben Recht, sie müssen keine Kraft ausüben! Stellen Sie sicher, dass die Kraft auf diesen Flächen bei der korrekten Lösung dieses Problems tatsächlich Null ist.

Kurz gesagt, sobald Sie die Unterseite des Würfels richtig auf den Boden geklebt haben, können Sie etwas Ähnlicheres erwarten, was hier sichtbar ist

eher als auf dem Bild oben.

Es ist nur lustig, dass Skizzen wie die obige so häufig verwendet werden, um Scherspannungen zu erklären. Ich denke, es ist irgendwie riskant und kann zu Ungereimtheiten und (berechtigten) Zweifeln bei Studenten führen. Ich frage mich, wie viele Personen sich dessen bewusst sind.

Ich muss sagen, dass einige Texte das Vorhandensein vertikaler äußerer Kräfte auch auf diesen beiden Seitenflächen anzeigen (dann funktioniert alles und die gleichmäßige Verformung oben ist korrekt) ... aber häufiger wird dies vernachlässigt.

Junge, der richtige Spannungstensor für ähnliche statische Situationen ist tatsächlich symmetrisch. Es ist nicht schwer zu verstehen, warum: Der Spannungstensor weiß um die Dichte der Kräfte und eine Asymmetrie würde das Gleichgewicht zerstören. Sehen

http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)#Equilibrium_equations_and_symmetry_of_the_stress_tensor

Der letzte Absatz des obigen Abschnitts enthält einen Beweis, warum der Spannungstensor symmetrisch ist. Man könnte sagen, dass der antisymmetrische Teil als Drehmoment wirken würde.

In deinem Beispiel beides$T_{xz}$Und$T_{zx}$sind gleich der von Ihnen angegebenen Schubspannung$p$. Insbesondere stimmt das nicht$T\cdot n_x=0$, wie Sie im ersten Schritt geschrieben haben (mit verwirrenden Zusatzindizes), weil der Spannungstensor die inneren Kräfte misst und nicht nur Kräfte, die Sie aktiv per Hand hinzufügen.

Die Schnittgrößen respektieren die Symmetrie zwischen den$x$Und$z$Achsen. Der einzige asymmetrische Tensor war einer, den Sie dem System "vorschreiben" wollten. Aber Sie können dem physikalischen System keine willkürlichen Eigenschaften und Verhaltensweisen vorschreiben: Die Eigenschaften und das Verhalten der Objekte gehorchen eher den Gesetzen der Physik als Ihren Erwartungen. Insbesondere garantieren physikalische Gesetze, dass die Schubspannung jedes Achsenpaar symmetrisch behandelt.

Sie sollten sich vorstellen, dass sich die Quadrate in einem Atomgitter befinden$xz$Ebene werden zu Rauten verformt. Aber die rhombische Krümmung existiert relativ zu beiden Achsen$x,z$. Wenn Sie eine Sonde in den Festkörper einführen, die die innere Spannung misst, stellen Sie sicher, dass Sie völlig identische Ergebnisse erhalten, wenn Sie die drücken$z=0$Flugzeug im$x$Richtung, als ob Sie die drücken$x=0$Flugzeug im$z$Richtung. Das Ergebnis beider Dinge ist, den Winkel zwischen dem (ehemaligen)$x=0$,$z=0$Ebenen im Festkörper. Es gibt keinen Unterschied.

Der Spannungstensor ist nur dann symmetrisch, wenn entweder die Spindichte, die die Dichte des inneren Drehimpulses beschreibt, Null ist. Bei den meisten Materialien ist dies der Fall, weil wir die meisten Spins der konstituierenden Atome oder Moleküle nicht in die gleiche Richtung ausrichten können.

Stellen Sie sich den von Ihnen erwähnten Würfel als Teilsystem eines viel größeren Materialsystems eingebettet vor. Bei einem asymmetrischen Spannungstensor bewirken die Kräfte, dass sich der Würfel relativ zu dem Material dreht, in das er eingebettet ist, was bei den meisten Materialien durch molekulare Bindungskräfte zwischen den Molekülen oder Atomen auf beiden Seiten der Grenze verhindert wird. Mit anderen Worten, der Würfel kann sich nicht relativ zu dem Material direkt außerhalb der Grenze drehen. Dies ist auf eine Gegenkraft zurückzuführen, die auf molekulare Bindung zurückzuführen ist, und zeigt sich als Gegenkraft auf den Oberflächen, die normal zu den sind$x$-Richtung.

Sie müssen sich auch darüber im Klaren sein, dass diese Spannungsanalyse nur im Grenzfall gilt, wenn die Würfelgröße unendlich klein wird. Andernfalls können wir unausgeglichene Kräfte auf den verschiedenen Oberflächen haben, was nur bedeutet, dass sich die Form des Würfels mit der Zeit verformt.