Grad der Anisotropie von Kristalltensoren

Ich werde einem Papier Phys folgen. Rev. Lett. 101, 055504 , die diese Frage sehr prägnant zu beantworten scheint. Übliche Voight-Notation:$C_{ijkl} \to C_{mn}$hier definieren wir Voight- und Reuss-Schätzer wie in Proc. Phys. Soc. A 65 349 . Zum Beispiel :

$$K^V= \frac{1}{9}\left(C_{11} + C_{22} + C_{33} + 2 (C_{12} + C_{23} + C_{31})\right)$$ und so weiter für $K^R, G^V, \mathrm{and} \,G^R$. Ich werde diese in dieser Antwort später bei Bedarf weiter definieren. Die Autoren der PRL gehen dann an die Definition $$A^U = 5 \frac{G^R}{G^V} + \frac{K^R}{K^V} - 6 \geq 0$$ als universeller elastischer anisotroper Index. Ihre Ansprüche, das $A^U = 0$für isotrope Kristalle wo $C_{11} = C_{22} = C_{33}$, $C_{44} = C_{55} = C_{66} = \frac{C_{11} - C_{12}}{2}$, Und $C_{12} = C_{13} = C_{23}$genau sind, ebenso wie die Behauptungen über kubische Klassen. Diese Menge deckt eine breite Palette von Kristallklassen ab (alle) und hat nicht die widersprüchlichen Probleme, die der anisotrope Zener-Index hat, wie ich es verstehe.

Die Idee, einen sphärischen Teil und einen anisotropen Teil zu definieren, ist meiner Meinung nach der richtige Ansatz. Hier mein Versuch.

Der anteilige Anistropieparameter für den Diffusionsprozess kann umgeschrieben werden als

$$\text{FA}^2 = \frac{3}{2} \frac{ \mathbf{\tilde{D}}^2}{\textbf{D}^2},$$ Wo $\mathbf{D}$ist der Diffusionstensor und $\tilde{\mathbf{D}} = \mathbf{D} - \frac{1}{3} \mathbf{I} \, \text{tr} (\mathbf{D})$ist die spurlose Version desselben. In dieser Form ist es nicht allzu schwer zu sehen, was wir tun: Wir nehmen den Tensor, subtrahieren seinen kugelsymmetrischen Teil, quadrieren den Rest und normalisieren ihn dann relativ zum Quadrat des ursprünglichen Tensors. Insbesondere dann, wenn der Tensor bereits kugelsymmetrisch ist $\text{FA} = 0$automatisch.

Lassen Sie uns zu diesem Zweck definieren

$$\tilde{C}_{ijkl} = C_{ijkl} - K \delta_{ij} \delta_{kl} - \mu \left( 2 \delta_{k(i} \delta_{j)l} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \delta_{kl} \right)$$ wo wir definiert haben $K$Und $\mu$sein $$K = \frac{1}{9} \delta^{ij} \delta^{kl} C_{ijkl}$$ Und $$\mu = \frac{1}{20} \left( 2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) C_{ijkl}.$$ Durch die Konstruktion haben wir $$\delta^{ij} \delta^{kl} \tilde{C}_{ijkl} = \left( 2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) \tilde{C}_{ijkl} = 0.$$ Um dies zu sehen, kontrahieren Sie jeden dieser Tensoren mit der rechten Seite der Definition von $\tilde{C}_{ijkl}$oben, und beachten Sie das $$\left(2 \delta^{k(i} \delta^{j)l} - \frac{2}{3} \delta^{ij} \delta^{kl} \right) \delta_{ij} \delta_{kl} = 0.$$

Effektiv projiziert dieser Prozess den Tensor$C_{ijkl}$auf den Raum kugelsymmetrischer Tensoren mit entsprechender Indexstruktur (jetzt ein zweidimensionaler Vektorraum statt eines eindimensionalen Vektorraums wie im Fall des Diffusionstensors). Insbesondere wenn$C_{ijkl}$entspricht bereits der Form eines Steifigkeitstensors für ein isotropes Medium (für einige$K$Und$\mu$), dann werden wir bekommen$\tilde{C}_{ijkl} = 0$. Ein Analogon des fraktionalen Isotropieparameters wäre dann

$$\text{FA}^2 = \alpha \frac{\tilde{C}_{ijkl}\tilde{C}^{ijkl}}{C_{ijkl} C^{ijkl}},$$ Wo $\alpha$ist ein Normalisierungsparameter, für dessen Berechnung ich leider gerade keine Zeit habe. Ich werde später auf diese Antwort zurückkommen, wenn ich Zeit habe, herauszufinden, wie man sie berechnet.

Bearbeiten: $\alpha = 5/4$, Ich finde. Wenn wir ein anschließen$C_{ijkl}$mit$C_{1111} = 1$und der Rest der Komponenten Null, erhalten wir$\text{FA}^2 = \frac{4}{5}\alpha$. Erfordern$\text{FA} = 1$in diesem Fall impliziert das dann$\alpha = 5/4$.

Beachten Sie, dass wir durch die Tatsache eingeschränkt sind, dass der Steifheitstensor kein beliebiger Tensor sein kann, sondern „positiv semidefinit“ im Sinne der Gradientenenergiedichte sein muss$C_{ijkl} \partial_i u_j \partial_k u_l$muss immer nichtnegativ sein. (Ansonsten ist der Zustand mit$\partial_i u_j = 0$überall wäre kein stabiler Gleichgewichtszustand für das System.) Diese Einschränkung hindert uns daran, einen Tensor mit auszuwählen$K = \mu = 0$Und$\tilde{C}_{ijkl} = C_{ijkl}$.