Probleme bei der Verbindung von Spannung und Kraft in der Kontinuumsmechanik mit meinem Konzept der Kraft aus der Punktmechanik

Ich bin mit der Kontinuumsmechanik nicht sehr vertraut und es fällt mir schwer, mein Wissen über Kräfte aus der einfachen Mechanik mit dem zu kombinieren, was ich über Kontinuumsmechanik gelesen habe.

Nehmen wir an, wir haben einen Metallstab mit einer bestimmten Länge und einer quadratischen Querschnittsfläche A was unter Stress steht σ .

1) Was genau ist die physikalische Bedeutung der Kraft? F = σ A ? Mein derzeitiges Verständnis von Kräften ist, dass sie einen Angriffspunkt brauchen – wo wäre dieser Angriffspunkt? Ist es ein einzelner Punkt? Alle Punkte der Querschnittsfläche auf einmal? Letzteres scheint der Vorstellung zu widersprechen, dass die Kraft kleiner wird, wenn ich nur einen Teil der Fläche betrachte:

Wenn ich die Querschnittsfläche aufteile A in mehrere kleinere Bereiche A ich , ich kann Kräfte berechnen F ich = σ A ich . Seit A = ∑ ich A ich , wir haben auch F = ∑ ich F ich . Das lässt es so erscheinen F ist eine Art kumulative Größe und wirft die Frage auf: was ist die physikalische Bedeutung der F ich ?

Wenn wir versuchen, dies weiter zu verallgemeinern, können wir auch unterschiedliche Stresswerte zulassen σ ich für die verschiedenen Bereiche A ich und machen die Flächen sogar infinitesimal, so dass wir eine Spannungsverteilung erhalten σ ( X , j ) (Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass wir die Verteilung so gewählt haben, dass kein Nettodrehmoment auf die Stange wirkt). Was ist die physikalische Bedeutung der "Kraft" F = ∫ A σ ( X , j ) D A ?

2) Was geht mathematisch vor? Muss der Begriff der Kraft als Vektor mit einem Angriffspunkt durch eine Art Vektorfeld in der Kontinuumsmechanik ersetzt werden (wobei nur Spannung in einer einzigen Richtung berücksichtigt wird und zusätzliche Komplikationen im Zusammenhang mit der Tensornatur von Spannung ignoriert werden)? Wenn ja, wie können diese "Flächenkräfte" (ich habe auch den Begriff "Flächenkraft" gelesen) mit Kräften kombiniert werden, die einen Angriffspunkt haben (z. B. mit dem Gewicht eines Massenpunkts oder eines starren Körpers, wo die Kraft als auf seinen Massenmittelpunkt wirkend beschrieben werden)? Um kombiniert werden zu können, müssen sie durch dieselbe mathematische Struktur beschrieben werden.

3) Verliert der Kraftbegriff auf dem Weg, den ich oben unter 1) skizziert habe, irgendwie seine Bedeutung? Ist die ganzzahlige Größe F = ∫ A σ ( X , j ) D A eine Kraft in einem der oben genannten Sinne oder eine Größe mit Krafteinheiten, aber ohne physikalische Bedeutung als Kraft?

Kennen Sie das mathematische Konzept der Dirac-Delta-Funktion?
Ja. Dies deutet eine Antwort auf einen Teil meiner Frage 2) in der Richtung an, dass die Kräfte der elementaren Mechanik, die sich auf einen Punkt beziehen, als Grenzfälle von Kräften angesehen werden können, die sich auf eine Fläche oder ein Volumen beziehen.
Ja. Sie sprechen über den Unterschied zwischen einer verteilten Kraft auf einer Fläche und einer konzentrierten Punktkraft. Die konzentrierte Punktkraft ist die Grenze der verteilten Kraft, da die Fläche, über die die Kraft aufgebracht wird, immer kleiner wird (während die resultierende Kraft konstant bleibt). Dies ist sehr analog zu der Fläche unter der Kurve f(x) gegenüber x, wenn sich f(x) einer Dirac-Delta-Funktion nähert.
Ok, ich sehe jetzt, wie ich einen Angriffspunkt bekommen kann, wenn ich die Kraft als konstant nehme und den Bereich verkleinere, auf den sie wirkt. Aber bei meinen anderen Fragen tappe ich noch ziemlich im Dunkeln. Wenn ich die Spannung konstant halte und immer kleinere Bereiche betrachte, wird auch die Kraft immer kleiner. Das entspricht nicht meiner Intuition. Auch kann ich das von mir erwähnte "Kraftintegral" immer noch nicht wirklich verstehen.
Spannung und Kraft sind dasselbe. Wenn Sie die Spannung über eine größere Fläche konstant halten, summieren sich diese zu einer größeren Zugkraft.
Ich habe immer noch Schwierigkeiten, die Bedeutung des Integrals in 1) zu verstehen. Wenn ich eine bestimmte Spannungsverteilung anlege σ ( X , j ) an die Rute und gebe dir nur F aber nicht σ ( X , j ) Sie können nicht berechnen, wie der Stab reagiert. Also, was bedeutet das Wissen von F alleine sagen? Ist das eine sinnvolle physikalische Größe?

Antworten (1)

Die konzeptionellen Schwierigkeiten werden größtenteils durch die Entwicklung des Traktionsbegriffs gelöst .

Traktion ( T → ) ist ein Vektorfeld, das eine Kraft pro Flächeneinheit darstellt, die an einem bestimmten Punkt in einem Körper auf eine differenziell orientierte Oberfläche wirkt; Ich denke normalerweise an die Traktion als das grundlegende Konzept, das dann nach der Integration zu einer Kraft wird, aber Sie können es sich als die Grenze der Kraft vorstellen, die auf eine beliebige Oberfläche pro Flächeninhalt wirkt, wenn Sie die Oberfläche auf einen Punkt schrumpfen.

Es ist dann natürlich festzustellen, dass sich die Traktion an einem Punkt ändert, wenn Sie die Ausrichtung der winzigen Oberfläche an diesem Punkt ändern, aber dass sie sich auf eine bestimmte Weise ändern muss (Traktionen gleichen sich im Gleichgewicht aus usw.)

Dies motiviert die Entwicklung eines Konzepts, das als Stresstensor bezeichnet wird σ ¯ ¯ , das ein Tensorfeld im Raum ist, das Ihnen durch Auswahl der Ausrichtung an einem Punkt die Traktion geben kann N ^ einer Differentialfläche an diesem gegebenen Punkt. Die Gleichung, durch die dies geschieht, lautet:

T → = N ^ ⋅   σ ¯ ¯

Aus diesem Grund ist Stress das mathematische Objekt, das verwendet wird, um mechanische Zustände in einem Kontinuumssystem zu beschreiben, und nicht die Zugkraft/Kraft. Eine gründliche Ableitung davon findet sich praktisch in jedem Buch der Kontinuumsmechanik; siehe dazu das Buch von AJM Spencer oder das Mase-Smelser-Mase- Buch .

Um Punktkräfte in dieses Modell einzubeziehen, müssen Sie entweder "das Modell integrieren" und Kräfte auf Kosten der räumlichen Auflösung verwenden oder die Punktkraft in eine verteilte Kraft über einen sehr kleinen Bereich auflösen, was das wahre physikalische Szenario ist. Hoffe das hilft!

Probleme bei der Verbindung von Spannung und Kraft in der Kontinuumsmechanik mit meinem Konzept der Kraft aus der Punktmechanik
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