Wie breit muss eine Eiswand sein, um an Ort und Stelle zu bleiben?

Jeder Querschnitt Ihrer Wand trägt das Gewicht der gesamten Wand darüber. In erster Näherung wird sich jeder Querschnitt in einem Zustand reiner Axialkompression befinden. Der am stärksten nachgefragte Querschnitt ist der ganz unten, der einen Kompressionsdruck von unterstützt$\rho h g$, Wo$\rho$ist die Dichte des Eises,$h$die Höhe der Mauer und$g$die Erdbeschleunigung. Sie können diesen Wert mit der Druckfestigkeit von Eis vergleichen und damit bestimmen, ob Ihre Wand bröckelt oder nicht.

Ihr größtes Problem wäre, herauszufinden, welche Parameter zu verwenden sind, die anscheinend sehr davon abhängen, wie sich das Eis gebildet hat, welche Temperatur es hat ... Ein Blick auf das Phasendiagramm von Eis macht deutlich, dass es so ist wird ein komplexes Verhalten haben. Es könnte sich herausstellen, dass die Druckkraft einen Phasenübergang des Eises an der Unterseite der Wand bewirkt, so dass Sie dann den oberen und den unteren Abschnitt getrennt betrachten müssen. Ich habe hier und hier ein paar sehr alte Referenzen gefunden , die ich nur quer überflogen habe. Aber dass es möglich ist, fast 100 Seiten über die mechanischen Eigenschaften von Eis zu schreiben, sagt schon die Geschichte...

Nebenbei bemerkt, wenn Sie bereit sind, perfekt vertikale Wände zu opfern, haben Sie eine Wand mit wachsender Breite$A e^{by}$, Wo$y$der vertikale Abstand von der Oberkante der Wand ist, wird jeder Querschnitt davon dem genau gleichen Druckdruck standhalten. Dies bedeutet, dass Sie unser gesamtes Eis bis zu seiner maximalen Tragfähigkeit nutzen und gleichzeitig vermeiden, dass unterschiedliche Drücke Abschnitte mit unterschiedlichen Phasen erzeugen.

Wir müssten mehr über das Eis wissen, aus dem wir die Mauer bauen wollen.

Zum Beispiel haben Sie für Eis in Eisschilden ein Eis, das effektiv einen plastischen Bereich der Spannungs-Dehnungs-Kurve bei etwa erreicht$0,5 MPa$. Ich bin kein Geologe, aber ich glaube, dass die Gletscher nur dicker sein können als$\sim 50 m$dank seiner spezifischen Form und der Tatsache, dass die Umgebung den Gletscher zurückdrückt und ihn (meistens) nicht bröckeln lässt. Dies wäre bei einer schmalen Wand nicht der Fall, wo schon an$50 m$Das Eis einer natürlichen Eisdecke würde zerbröckeln, bevor es die Plastizität erreicht (ich habe das Gefühl, dass die Plastizität nicht nur durch den mikroskopischen Strukturabbau verursacht wird, sondern auch durch mesoskopische Eiskörner, die sich gegenseitig brechen und sich bewegen).

Diese Studie des US Geological Survey bewertet pragmatisch „die Bruchfestigkeit“ von Eis und stellt fest, dass das beste Eis, das Sie in der Natur finden, bei einer idealen Temperatur eine untere Bruchgrenze von etwa hat$\sim 400 \, pounds/inches^2 = 2,8 MPa$.

Wie Jaime bereits sagte, ist das Hauptproblem der allertiefste Teil des Eises, der den Druck der gesamten Säule darüber trägt. Dieser Druck ist

$$P=\rho h g \approx 1000 kg \cdot m^{-3} \cdot 200 m \cdot 10 m\cdot s{-2} = 2 MPa \, .$$ Wenn Sie also nicht irgendein Eis nehmen, sondern seine Eigenschaften optimieren, sollten Sie in der Lage sein, Mauern in beliebiger Dicke bis zu einer Höhe von zu bauen $200m$.

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Aber unsere Intuition begnügt sich zu Recht nicht mit der Vision der mächtigen Eiswand von der Dicke eines Papierblatts. Eine solche Mauer würde offensichtlich beim geringsten Luftzug umkippen, ganz zu schweigen von einem Riesen, der auf einem Mammut aus dem hohen Norden jenseits der Mauer reitet. (Ich nehme an, es ist kein Zufall, dass die Höhe dieselbe ist wie die der Mauer von Game of Thrones :)

Es ist offensichtlich, dass eine dickere Wand weniger anfällig für Löcher ist, aber konzentrieren wir uns auf das Problem der Stabilität . Erstens macht es die bloße Tatsache, dass eine dickere Wand schwerer ist, schwieriger, in einen kritischen Winkel zu kippen, in dem die Wand von selbst fällt. Zweitens bewirkt die größere Basis, dass der Kippwinkel viel größer ist und das anfängliche Drehmoment , um mit dem Kippen zu beginnen, viel größer ist. Wenn Sie ein Schema der Wand mit einer Dicke zeichnen$d$und eine Höhe$l$, das lässt sich leicht für den Kippwinkel zeigen$\alpha_t$wir haben

$$tan(\alpha_t) = \frac{d/2}{h/2} \to \alpha_t = arctan \left( \frac{d}{h} \right) \,.$$ Oder der Kippwinkel $\alpha_t$wächst immer mit dem Verhältnis $d/h$. Außerdem wächst mit der Dicke der Wand auch das anfängliche Drehmoment, das erforderlich ist, um überhaupt mit dem Kippen der Wand zu beginnen. Das anfängliche Drehmoment $\tau$müsste sein $$\tau = F_{proj} l \,,$$ Wo $l = \sqrt{(d/2)^2 + (h/2)^2}$ist der Abstand zur Unterkante der Wand vom Massenmittelpunkt und der $F_{proj} = M g d/l$ist der Gewichtsanteil der Wand mit Masse $M$senkrecht zur Länge $l$. Das Drehmoment, das erforderlich ist, um die Wand überhaupt zu kippen, ist dann $$\tau = Mgd \,.$$ Das zum Kippen der Wand erforderliche Drehmoment ist also einfach proportional sowohl zur Masse der Wand als auch zur Dicke. In Anbetracht der Tatsache, dass die Masse auch eine Funktion von ist $d$, haben wir ein noch steileres Stabilitätswachstum unserer Wand mit ihrer Dicke.

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Aber Vorsicht! Die Kante, über die die Wand kippen würde, erreicht beim Kippvorgang einen nahezu unendlichen Druck. Dies ist eine Folge der Tatsache, dass der unterste Teil der Kante, über die wir die Wand kippen, das Gewicht der gesamten Wand trägt. Wir müssen also die Mauer so bauen, dass das benötigt wird$\tau$um überhaupt zu kippen, wird es nie von einem Eindringling erreicht. Sie müssen nicht einmal so viel Eis verwenden - der Kippboden wird effektiv vergrößert, zB indem die Wand leicht gebogen wird.

Selbst wenn wir für eine ausreichend große Basis sorgen, müssen wir sicher sein, dass der Eindringling tatsächlich nicht genug Druck ausübt, um die unteren Kanten der Mauer zu bröckeln. Beispielsweise könnte eine sehr brutale Böe, wie sie in Australien festgestellt wurde , einen dynamischen Druck von etwa$0.9 MPa$. Dieser Schlag wäre sicherlich tödlich, aber selbst schwächere könnten die Wand aufgrund von Inhomogenitäten und ungleichmäßiger Druckverteilung zum Einstürzen bringen.

Insgesamt ist die$700 ft \sim 200 m$hohe Mauer aus Game of Thrones ist nur etwas unrealistisch. Kaum vorstellbar, dass die damalige Technik und Koordination in der Lage wäre, ein so durchgängig ideales Eis zu erzeugen, wie wir es uns bis heute vorgestellt haben. Wenn überhaupt, wäre meine beste Vermutung eine Schätzung eines maximalen Gesamtdrucks$\sim 2 MPa$was dazu führt, a zu sagen$100 m$hohe Stallwand. Berücksichtigt man, dass selbst Steinbauten im Mittelalter wie Kathedralen nie höher als rund waren$160 m$, sogar die$100 m$Wand aus Eis wäre gewaltig. Offensichtlich verliert die Physik hier den Atem, die Argumentation erfordert, dass Magie beteiligt sein muss.

Wie der Eiffelturm bekanntlich zeigt, hat eine "gute" selbsttragende Struktur keinen einheitlichen Querschnitt - stattdessen ist die Größe der Stützfläche auf jeder Ebene groß genug, um das Gewicht der darüber liegenden Struktur zu tragen, ohne einen Bruch zu erreichen / Streckgrenze des Baustoffes.

Der Schmelzpunkt von Eis ist eine Funktion des Drucks - also müssen Sie zunächst sicherstellen, dass die Temperatur nicht nur "unter dem Gefrierpunkt von Wasser" liegt, sondern unter dem Gefrierpunkt von Wasser bei jedem Druck, dem wir begegnen könnten. Das Phasendiagramm von Wasser (von http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucfbanf/images/ice2.jpg ):

Dennoch – eine 200 m hohe Eissäule erzeugt einen Druck von ungefähr 20 Atmosphären oder 0,002 GPa – also ist dies nicht wirklich besorgniserregend.

Sie müssen wirklich die Dichte von Eis kennen - sie beträgt etwa 0,92 der von Wasser. Sie müssen auch die Gravitationsbeschleunigung kennen: Diese ändert sich ein wenig mit der Position auf der Erde, aber vorausgesetzt, Sie sind tatsächlich auf der Erde,$9.8 kg/m^2$ist eine ziemlich gute Annäherung. Das entspricht dem tatsächlichen Druck am Boden einer 200 m hohen Eiswand$9.8 * 0.92 * 10^3 * 200 = 1.8 MPa$

Als nächstes machen Sie sich Sorgen über die Brechkraft von Eis – die laut http://pubs.usgs.gov/wri/wri024158/wri024158_files/w024158p33_48.pdf zwischen 58 und 1046 psi variiert. Nimmt man 1000 psi als schöne runde Zahl, entspricht das einem Druck von fast 7 MPa und einer Wassersäule von 700 Metern. Bei einer Eisdichte von etwa 0,92 der Wasserdichte wäre man in der Lage, eine 760 m hohe Wand zu tragen.

Aber das macht keinen Spaß. Wenn Sie das Eis "nicht ganz stark genug" machen, können Sie immer noch eine hohe Wand machen, indem Sie die Form der Wand ändern - unten dicker, oben dünner. Wie ich oben sagte, ist eine exponentielle Form "ideal", aber Sie könnten die Berechnung für ein Dreieck durchführen: Eis mit Dichte$\rho$in einem dreieckigen Abschnitt der Basis$b$und Höhe$h$hat eine Masse von$1/2 h b$pro Längeneinheit und übt somit einen Druck von aus$1/2 h$Unabhängig von der Breite der Basis. Sie haben gerade eine Mauer gebaut, die für eine bestimmte Eisstärke doppelt so hoch war, und zwar mit ziemlich einfacher Mathematik - und Sie hätten eine vernünftige Chance, eine solche Mauer mit genauen Abmessungen zu bauen, selbst mit relativ ungelernten Arbeitskräften (siehe Pyramiden für andere Beispiele). eine Form...).

Apropos Pyramiden – sie entdeckten ein weiteres mechanisches Problem, wenn sie zu hoch und zu steil bauen: Die Scherspannungen im Material könnten ein Verrutschen verursachen, das die Pyramide zum Einsturz bringen würde. Ursprünglich mit 54 Grad gebaut, entdeckten die Ägypter - mit dem fatalen Einsturz der Meidum-Pyramide, die ebenfalls mit 54 Grad gebaut wurde -, dass es unsicher war, eine Pyramide zu steil zu bauen. Ganz praktisch, sie setzten einfach mit einem flacheren 43-Grad-Winkel fort. Namensnennung: Ursprünglicher Uploader war Ivrienen bei en.wikipedia – Übertragen von en.wikipedia; von User: Leoboudv mit CommonsHelper an Commons übertragen. Lizenziert unter CC BY 3.0 über Wikimedia Commons .

Übrigens - die Stärke des Eises ist eine Funktion der Belastungsrate:

Dies ist eine schreckliche Grafik, wenn Sie hohe Mauern aus Eis bauen wollen - denn sie besagt, dass die enormen Festigkeiten, die Ihnen von den Materialwissenschaftlern versprochen wurden, einfach nicht bei niedrigen Dehnungsraten (also in der Grenze von "an ewige Mauer", die Dinge werden langsam zu Boden fließen). Beachten Sie, dass dies bei den unten angegebenen Raten signifikant wird$10^{-6}$- das Äquivalent einer 200 m hohen Mauer, die vorbeischrumpft$200 \mu m / s$, oder 17 Meter pro Tag. Autsch...

Die obige Grafik stammt aus einem interessanten Artikel über die Stärke des Eises: http://www.tms.org/pubs/journals/JOM/9902/Schulson-9902.html , der eine Menge interessanterer Informationen enthält. Die wahrscheinlich lustigste Tatsache ist die Tatsache, dass sie die Verwendung von riesigen künstlichen Eisbergen als Flugzeugträger während des Zweiten Weltkriegs untersucht haben. Obwohl noch nie ein solches Schiff gebaut wurde, wurde während der Forschung entdeckt, dass das Hinzufügen einer kleinen Menge (4 %) kanadischen Fichtenzellstoffs die Festigkeit des Eises verdoppeln und, was noch wichtiger ist, die Schlagfestigkeit erheblich erhöht - wichtig für einen Flugzeugträger, und für die Eiswand einer Festung, sagen wir. Gewicht für Gewicht verlieh es Eis tatsächlich die Stoßfestigkeit von Beton. Nice - ein Low-Tech-Verbundwerkstoff.

Also - wenn du deine Mauer bauen willst:

• Bauen Sie es mit einem Winkel auf: unten breiter, oben schmaler
• Füge Fruchtfleisch aus kanadischer Fichte hinzu, um es stärker zu machen
• Erwarten Sie, dass es langsam unter seinem eigenen Gewicht fließen wird: Bauen Sie es also weiter auf ...

Unter der Annahme, "dass sich Eis wie ein verformbares Kunststoffmaterial verhält, was bedeutet, dass es eine kritische Scherspannung gibt, unterhalb derer keine Dehnung (Verformung oder Strömung) auftritt", leitete Weertman das Gleichgewichtsprofil eines Eisfelds so ab, dass die Spannung die kritische nicht überschreitet Wert. Er fand heraus, dass die Höhe ungefähr ist

$$h = \sqrt{\lambda L}$$ Wo $\lambda$ist etwa 10 Meter und $L$ist halb so breit. Ein 200 Meter hohes, nicht fließendes Eisfeld müsste also 7 km breit sein. Laut dem Wikipedia-Artikel steigt die Durchflussrate jenseits der kritischen Spannung mit der Kubikzahl der Spannung an, sodass eine viel schmalere Wand schnell in Richtung eines Gleichgewichtsprofils absinken würde.