Warum biegen wir ein Buch, um es gerade zu halten?

Das Verständnis, warum dies funktioniert, erweist sich als ziemlich tiefgründig. Diese Antwort ist eine ziemlich lange Geschichte, aber es gibt keine Mathematik. Am Ende („Ein formellerer Ansatz“) gibt es einen Überblick darüber, wie die Mathematik funktioniert: Fahren Sie damit fort, wenn Sie die Geschichte nicht wollen.

Insektengeometrie

Stellen Sie sich ein kleines Insekt oder etwas vor, das auf der Oberfläche des Papiers lebt. Dieses Insekt kann nicht auf dem Papier sehen, aber es kann gerade Linien zeichnen und Winkel auf dem Papier messen.

Wie zeichnet es gerade Linien? Nun, es macht es auf zwei Arten: Entweder es nimmt zwei Punkte, zeichnet Linien zwischen ihnen auf dem Papier und findet die kürzeste Linie zwischen ihnen, die es „gerade“ nennt; oder alternativ zieht es eine Linie so, dass sie parallel zu sich selbst verläuft und nennt dies „gerade“. Es gibt einen geometrischen Trick, um solche „zu sich selbst parallelen“ Linien zu konstruieren, auf den ich nicht eingehen werde. Und es stellt sich heraus, dass diese beiden Arten von Linien gleich sind.

Ich bin mir nicht sicher, wie es Winkel misst: Vielleicht hat es einen kleinen Winkelmesser.

Jetzt kann unser Insekt also Geometrie. Es kann verschiedene Dreiecke auf das Papier zeichnen und die Winkel an den Ecken dieser Dreiecke messen. Und es wird immer feststellen, dass sich die Winkel summieren$\pi$($180^\circ$), Natürlich. Sie können dies auch tun und die Ergebnisse des Insekts überprüfen, und viele Leute tun genau dies in der Schule. Das Insekt (nennen wir es „Euklid“) kann tatsächlich ein ganzes geometrisches System auf seinem Blatt Papier entwickeln. Andere Insektenkünstler werden Bilder und Skulpturen daraus machen, und das Buch über Geometrie, das sie schreibt, wird Tausende von Jahren in Insektenschulen verwendet werden. Insbesondere kann das Insekt aus geraden Linien Formen konstruieren und die Flächen darin ausmessen und dafür eine Reihe von Regeln entwickeln: Rechtecke haben Flächen, die gleich sind$w \times h$zum Beispiel.

Ich habe oben nichts angegeben: Ich habe Ihnen nicht gesagt, ob das Papier flach auf einem Schreibtisch liegt oder ob es gebogen in Ihrer Hand liegt. Das liegt daran, dass es dem Insekt egal ist : Das Insekt kann nicht sagen , ob wir denken, dass das Papier gekrümmt ist, oder ob wir es für flach halten: Die Linien und Winkel, die es misst, sind genau gleich . Und das liegt daran, dass das Insekt im wahrsten Sinne des Wortes Recht hat und wir uns irren: Das Papier ist flach, auch wenn wir denken, dass es gekrümmt ist . Was ich damit meine ist, dass es keine Messung gibt, die Sie auf der Oberfläche des Papiers durchführen können, die Ihnen sagt, ob es „gekrümmt“ oder „flach“ ist.

Schütteln Sie nun das Papier und lassen Sie eines der Insekten herunterfallen und auf einer Tomate landen. Dieses Insekt beginnt mit seiner Geometrie auf der Oberfläche der Tomate und findet etwas ziemlich Schockierendes: Im kleinen Maßstab sieht alles in Ordnung aus, aber wenn es anfängt, große Figuren zu konstruieren, geht alles schrecklich schief: Die Winkel in seinen Dreiecken summieren sich zu mehr als$\pi$. Linien, die parallel beginnen, sich weit genug erstrecken, sich zweimal treffen, und es gibt tatsächlich überhaupt keine globale Vorstellung von Parallelität . Und wenn es die Fläche innerhalb von Formen misst, stellt es fest, dass es immer mehr ist, als es sein sollte: Irgendwie steckt mehr Tomate in den Formen als Papier.

Die Tomate ist tatsächlich gekrümmt : Ohne jemals die Oberfläche der Tomate zu verlassen, kann das Insekt erkennen, dass die Oberfläche irgendwie deformiert ist. Irgendwann kann es eine ganze Theorie der Tomatengeometrie entwickeln, und später werden einige wirklich schlaue Insekten mit Namen wie „Gauss“ und „Riemann“ eine Theorie entwickeln, die es ihnen erlaubt, die Geometrie gekrümmter Oberflächen im Allgemeinen zu beschreiben: Tomaten, Birnen und so weiter .

Eigene und äußere Krümmung

Um ganz genau zu sein, sprechen wir davon, dass das Blatt Papier „intrinsisch flach“ und die Oberfläche der Tomate „intrinsisch gekrümmt“ ist: Das bedeutet nur, dass wir allein durch Messungen an der Oberfläche feststellen können, ob die Regeln von Euklidische Geometrie gilt oder nicht.

Es gibt eine andere Art von Krümmung, die äußere Krümmung: Dies ist die Art von Krümmung, die Sie nur messen können, indem Sie ein Objekt als in einen höherdimensionalen Raum eingebettet betrachten. Im Fall von Papierbögen sind die Oberflächen zweidimensionale Objekte, die in den dreidimensionalen Raum eingebettet sind, in dem wir leben. Und wir können feststellen, ob diese Oberflächen äußerlich gekrümmt sind, indem wir Normalenvektoren zu den Oberflächen konstruieren und prüfen, ob sie alle in die gleiche Richtung zeigen. Aber die Insekten können das nicht: Sie können nur die Eigenkrümmung messen.

Und kritisch kann etwas äußerlich gekrümmt sein, während es intrinsisch flach ist. (Das Umgekehrte gilt zumindest bei Papier nicht: Wenn es intrinsisch gekrümmt ist, ist es auch extern gekrümmt.)

Dehnen & Komprimieren

Es gibt eine kritische Sache an dem Unterschied zwischen intrinsisch flachen und intrinsisch gekrümmten Oberflächen, die ich oben am Rande erwähnt habe: Die Fläche innerhalb von Formen ist unterschiedlich . Das bedeutet, dass die Oberfläche gedehnt oder gestaucht wird: Bei der Tomate ist mehr Fläche innerhalb von Dreiecken als bei glattem Papier.

Das bedeutet, wenn Sie ein an sich flaches Objekt nehmen und es so verformen möchten, dass es an sich gekrümmt ist, müssen Sie Teile davon dehnen oder stauchen: Wenn wir ein Blatt Papier nehmen und es über die Oberfläche krümmen wollten einer Kugel, dann müssten wir sie strecken und stauchen: Es gibt keine andere Möglichkeit, dies zu tun.

Das gilt nicht für die äußere Krümmung: Wenn ich ein Stück Papier nehme und es beispielsweise zu einem Zylinder rolle, wird die Oberfläche des Papiers überhaupt nicht gedehnt oder gestaucht. (Tatsächlich ist es ein bisschen, weil Papier eigentlich ein dünnes dreidimensionales Objekt ist, aber ideales zweidimensionales Papier ist es nicht.)

Warum gebogenes Papier es starr macht

Endlich kann ich die Frage beantworten. Papier ist ziemlich widerstandsfähig gegen Dehnen und Komprimieren: Wenn Sie versuchen, ein (trockenes) Blatt Papier zu dehnen, wird es reißen, bevor es sich wirklich gedehnt hat, und wenn Sie versuchen, es zu komprimieren, wird es sich auf eine schreckliche Weise zusammenfalten, aber nicht komprimieren .

Aber Papier ist wirklich dünn, also ist es nicht sehr widerstandsfähig gegen Biegen (weil es durch Biegen nur ein winziges bisschen gedehnt wird, und für unser ideales zweidimensionales Papier überhaupt nicht gedehnt wird).

Das bedeutet, dass es einfach ist, Papier äußerlich zu krümmen , aber sehr schwer, es innerlich zu krümmen .

Und jetzt werde ich ein wenig mit den Händen winken: Wenn Sie Papier in eine U-Form krümmen, wie Sie es getan haben, dann krümmen Sie es nur äußerlich: Es ist immer noch intrinsisch flach. Das stört ihn also überhaupt nicht. Aber wenn es anfängt, sich auch in die andere Richtung zu krümmen, dann muss es sich intrinsisch krümmen : es muss sich dehnen oder stauchen. Es ist leicht zu erkennen, wenn man nur auf das Papier schaut: Wenn es zu einem „U“ gebogen ist, muss sich entweder die Oberseite des „U“ dehnen oder die Unterseite, um es in die andere Richtung zu krümmen Kompresse.

Und das ist der Grund, warum eine derartige Krümmung des Papiers es steif macht: Es „verbraucht“ die Fähigkeit, das Papier von außen zu krümmen, so dass jede weitere äußere Krümmung auch eine innere Krümmung mit sich bringt, was Papier nicht gerne tut.

Warum das alles wichtig ist

Wie ich eingangs sagte, ist dies eine ziemlich tiefgründige Frage.

• Die Mathematik dahinter ist absolut faszinierend und schön, während sie relativ einfach zu verstehen ist, wenn man sie einmal gesehen hat. Wenn Sie es verstehen, bekommen Sie eine Art Einblick in die Arbeitsweise von Leuten wie Gauß, was einfach wunderbar ist.
• Die dahinter stehende Mathematik und Physik entpuppt sich als Teil der Mathematik, die Sie zum Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie benötigen, einer Theorie, die sich ausschließlich mit der Krümmung befasst. Indem Sie dies richtig verstehen, beginnen Sie also den Weg zum Verständnis der schönsten und tiefgründigsten Theorie der modernen Physik (ich wollte „eine der ...“ schreiben, aber nein: Es gibt GR und es gibt alles andere).
• Die dahinter stehende Mathematik und Physik ist auch in Dingen wie der Technik wichtig: Wenn Sie verstehen wollen, warum Träger stark sind oder warum Autoverkleidungen starr sind, müssen Sie dieses Zeug verstehen.
• Und schließlich ist es die gleiche Mathematik : Die Mathematik, die Sie brauchen, um verschiedene technische Strukturen zu verstehen, ist ziemlich nah an der Mathematik, die Sie brauchen, um GR zu verstehen: Wie cool ist das?

Ein formellerer Ansatz: ein bemerkenswertes Theorem

Der letzte Abschnitt oben beinhaltete etwas Handwinken: Der Weg, es weniger handwellig zu machen, ist auf das wunderbare Theorema Egregium ('bemerkenswertes Theorem') von Gauß zurückzuführen. Ich möchte hier nicht ganz ins Detail gehen (tatsächlich bin ich dem wahrscheinlich nicht mehr gewachsen), aber der Trick, den Sie tun, ist, dass Sie für eine zweidimensionale Oberfläche den Normalenvektor konstruieren können$\vec{n}$in drei Dimensionen (der Vektor zeigt aus der Oberfläche heraus), und Sie können sich überlegen, wie dieser Vektor die Richtung ändert (in drei Dimensionen), wenn Sie ihn entlang verschiedener Kurven auf der Oberfläche bewegen. An jedem Punkt der Oberfläche gibt es zwei Kurven, die durch sie verlaufen: eine, auf der der Vektor die Richtung entlang der Kurve am schnellsten ändert, und eine, entlang der die Richtung am langsamsten ändert (dies folgt im Grunde aus der Kontinuität).

Wir können eine Zahl konstruieren,$r$was beschreibt, wie schnell der Vektor die Richtung entlang einer Kurve ändert (ich habe völlig vergessen, wie das geht, aber ich denke, es ist einfach), und für diese beiden maximalen und minimalen Kurven können wir die beiden Raten nennen$r_1$Und$r_2$.$r_1$&$r_2$heißen die beiden Hauptkrümmungen der Oberfläche.

Dann die Menge$K = r_1r_2$wird die Gaußsche Krümmung der Oberfläche genannt, und das Theorema egregium besagt, dass diese Größe der Oberfläche innewohnt : Sie können sie einfach messen, indem Sie Winkel usw. auf der Oberfläche messen. Der Satz ist bemerkenswert, weil die gesamte Definition von$K$beteiligte Dinge, die der Oberfläche äußerlich sind , insbesondere die beiden Hauptkrümmungen. Weil$K$ist intrinsisch, unsere Insekten können es messen !

Euklidische Geometrie ist wahr (insbesondere das parallele Postulat ist wahr) für Oberflächen, wo$K = 0$nur.

Und wir können jetzt etwas präziser auf das ganze „Dehnen & Komprimieren“ eingehen, von dem ich oben gesprochen habe. Wenn wir das Blatt Papier nicht dehnen und stauchen dürfen, dann verändern all die Dinge, die wir damit tun dürfen, keine Messung, die die Insekten machen können: Längen oder Winkel, die intrinsisch sind, also gemessen werden vollständig in der Oberfläche des Papiers, kann sich nicht ändern, es sei denn, Sie dehnen oder komprimieren das Papier. Änderungen am Papier, die diese intrinsischen Eigenschaften bewahren, werden als Isometrien bezeichnet . Und da$K$ist intrinsisch und wird durch Isometrien nicht verändert.

Stellen Sie sich nun ein Blatt Papier vor, das in drei Dimensionen flach ist. Es ist klar, dass$r_1 = r_2 = 0$(der Normalenvektor zeigt immer in die gleiche Richtung). So$K = 0$.

Falten Sie nun das Papier in U-Form: jetzt ist es klar$r_1 \ne 0$- Wenn Sie eine Kurve über das Tal auf dem Papier zeichnen, ändert der Normalenvektor von dieser Kurve die Richtung. Aber diese Faltung ist eine Isometrie: Wir haben das Papier nicht gedehnt oder gestaucht. So$K$muss noch sein$0$: Das Papier ist immer noch intrinsisch flach. Aber seit$K = r_1r_2$Und$r_1 \ne 0$Dies bedeutet, dass$r_2 = 0$.

Und das bedeutet, dass die andere Hauptkrümmung Null sein muss. Diese Hauptkrümmung verläuft entlang der Linie, die das Tal des „U“ hinabführt. Mit anderen Worten, das Papier kann sich nicht in die andere Richtung biegen, ohne intrinsisch gekrümmt zu werden ($K \ne 0$), was bedeutet, dass es sich dehnen muss.

(Ich habe hier noch ein bisschen mit der Hand gewinkt: Ich habe nicht definiert, wie Sie berechnen$r$, und ich habe nicht gezeigt, dass es keine andere Kurve gibt, die Sie entlang des Papiers zeichnen können, die hat$r = 0$Abgesehen von dem Offensichtlichen.)

Einer der Gründe, warum das alles ziemlich interessant ist, ist, dass diese Mathematik der Anfang der Mathematik ist, die Sie brauchen, um die Allgemeine Relativitätstheorie zu verstehen, bei der es auch um Krümmung geht.

Scheitern und Falten

Wenn Sie das U-förmige Stück Papier nehmen und versuchen, es irgendwann in die andere Richtung zu biegen, wird es natürlich plötzlich versagen und auf komplizierte Weise gefaltet werden. Ich denke, es gibt einen ganzen Studienbereich, der darüber nachdenkt. Ich vermute, dass in diesem Fall (während des plötzlichen Versagens, nicht danach, glaube ich) an Stellen auf dem Papier lokal eine intrinsische Krümmung ungleich Null vorhanden sein muss. Ich bin mir sicher, dass es dazu eine Menge interessanter Mathematik gibt (abgesehen von allem anderen muss es für technische Strukturen sehr interessant sein), aber ich weiß es nicht.

Sie haben im Wesentlichen Prinzipien hinter Biegemomenten und Statik entdeckt.

Wie ein anderes Poster feststellte, ist die von Ihnen erstellte Struktur physikalisch stärker, da zum Biegen von etwas (z. B. einem oben geladenen Balken) die oberen Schichten komprimiert werden, während die unteren Schichten gedehnt werden. Dies liegt einfach an der Geometrie und der physikalischen Natur der Materialien. Kurz gesagt, die Last (Kraft) wird von einer Richtung normal zum Balken in eine innere Kraft umgewandelt – Längsspannung. Genauer gesagt, die aufgebrachte Last (durch Gewicht, Schwerkraft usw.) führt zu einem Biegemoment im Element. Dieses Biegemoment manifestiert sich als innere Spannungen (Zug- und Druckkräfte) im Inneren des Elements, die der Biegung in gleicher Höhe widerstehen.

Einige Grundlagen zu Kräften: Kompression und Spannung sind dasselbe, nur unterschiedliche "Richtungen", dh: Wenn die Kompression -1 oder -2 beträgt, ist die Spannung 1 oder 2. Das zu wissen und zu wissen, dass die Oberseite des Elements innen ist Druck und der Boden unter Spannung steht, können wir schlussfolgern, dass es eine Kraftverteilung über das Element gibt. Und ich denke, der wichtigste Teil Ihrer Frage ist, dass es einen Punkt geben muss, an dem x = 0 (die neutrale Oberfläche), da die Kraftverteilung von -x nach + x über das Element verläuft . Im Bild unten kreuzen die Spannungen (grüne Pfeile) irgendwann 0.

Daher können wir beobachten, dass in unserem Beispiel maximale Spannungen an den Rändern, der Ober- und Unterseite des Trägers auftreten. Dieses Prinzip ist genau wie und warum I-Träger funktionieren. Die Festigkeit des Elements ergibt sich aus den Materialeigenschaften des Materials (seiner Fähigkeit, Druck oder Zug (Dehnung) zu widerstehen). Das bedeutet, dass so etwas wie ein Stahlträger in seiner Fähigkeit, einer Biegung zu widerstehen, durch die Berechnung der Zugbelastung an der Oberfläche begrenzt wird. Physikalisch ist diese Gleichung (für die$x$Richtung):

$\sigma_{x}=-\frac{y}{c}\sigma_{m}$

Wo$c$ist die neutrale Fläche (die imaginäre Ebene, wo$\sigma_{x}=0$) Und$y$ist der Abstand von der neutralen Oberfläche, und$\sigma_{m}$ist der maximale Absolutwert der Spannung im Stab.

Laienhaft ausgedrückt ist die Höhe des Balkens der treibende Faktor für seine Stärke, nicht die Dicke. Aber in der Ebene, die maximale Belastungen (Zug und Druck) erfährt, gibt Ihnen die Dicke mehr Kraft. Dadurch ergibt sich die klassische I-Trägerform.

Was hat das alles mit Papier zu tun?

Wenn das OP das Papier horizontal (flach) ausrichtet, ist die Höhe des Papiers relativ zur neutralen Oberfläche im Grunde 0. Das heißt, wir können davon ausgehen, dass das gesamte Papier eine neutrale Oberfläche ist. Das heißt, es kann buchstäblich keiner Biegung widerstehen. Drehen Sie das Papier um 90 Grad und jetzt ist das gesamte Papier hoch, und das gesamte Papier kann dem Biegen widerstehen und es kann nicht gebogen werden. Normalerweise knickt oder reißt es, bevor es sich biegt.

Die geschwungene Form, die OP erzeugt, nutzt alle Konzepte, die wir hier behandelt haben. Anstatt eine I-Form zu machen, macht OP eine C-Form, was zu der Idee führt, dünne Materialien durch die Verwendung von Riffelungen zu nutzen, um eine unglaubliche Festigkeit hinzuzufügen und gleichzeitig das Gewicht gering zu halten. Beispielsweise sind die Innenschichten eines Kartons gewellt oder in kleine gebogene Formen gefaltet, um einem Verbiegen zu widerstehen. So können wir mit weniger Material viel höhere Festigkeiten erreichen.

Wenn Sie ein Stück Material biegen, wird der Widerstand dadurch erzeugt, dass das Material an der Außenseite der Biegung gedehnt und das Material an der Innenseite der Biegung zusammengedrückt wird.

Ein dünnes, flaches Blech biegt sich leicht, da es beim Biegen physikalisch nicht zu einer starken Dehnung oder Stauchung kommt.

Wenn Sie Ihrem Buch eine Falte wie eine Mulde geben, kann sich diese Form nicht physisch biegen, ohne dass Sie sich an den oberen Kanten stark dehnen und am Boden der Mulde stark zusammendrücken. Eine sehr kleine Biegung würde viel Dehnung und Stauchung erzeugen, und daher hat die Form einen großen Biegewiderstand.

Die anderen Antworten sind bisher technisch korrekt, aber keine von ihnen scheint wirklich eine vernünftige / intuitive und einfache Antwort zu geben. Also werde ich mich mal an einem versuchen.

Stellen Sie sich vor, Sie biegen einen Gegenstand ganz leicht an einem Ende nach unten, während Sie das andere Ende fest horizontal halten. (Es könnte fast jedes Objekt sein, könnte Papier sein, ein Ast von einem Baum, irgendein Plastikrohr, ein langer dünner Gummiblock, sogar ein Betonblock!) Aber biegen Sie das Objekt nur sehr leicht von einem Ende, also sind Sie' t brechen oder brechen.

Um sich überhaupt zu biegen, muss sich die Oberseite des Objekts stärker dehnen als die Unterseite, da sie sich auf der „Außenseite“ der „Kurve“ befindet, die sich bildet, wenn Sie das Objekt biegen.

(Der Boden ist ebenfalls gestaucht oder "komprimiert", aber es ist einfacher zu visualisieren, wenn wir das ignorieren und uns darauf konzentrieren, was auf der Oberseite des Objekts passiert.)

Nahezu alle Materialien und Gegenstände widerstehen Dehnung und Kompression, zumindest in kleinen Grenzen. Einige widersetzen sich massiv (versuchen Sie, eine Stahlstange zu dehnen). Andere widerstehen ihm nicht sehr (versuchen Sie, an einer Nylonschnur oder einem Gummiband oder einer Feder zu ziehen). Einige brechen oder reißen schnell (Beton und Papier dehnen sich überhaupt nicht gut, sie brechen oder reißen stattdessen schnell). Andere Materialien dehnen sich ziemlich viel (Stahl ist eines davon, weshalb es zur Verstärkung von Betonkonstruktionen verwendet wird, im Gegensatz zu Beton widersteht es einer Dehnungswirkung).

Dieser Unterschied zwischen der Biegung von „oben“ und „unten“ und der Tatsache, dass, wenn das Objekt auch nur leicht gebogen wird, beide gebogen werden müssen und ihre Kurven unterschiedliche Radien haben, bestimmt das Ergebnis, ob das Objekt ist Ihr Stück Papier, ein ganzer Notizblock, ein Ast oder ein Stahlträger.

Zurück zu Ihrem Papier.

Wenn Ihr Papier flach ist, liegen die Ober- und Unterseite des Blatts vertikal sehr nahe beieinander. So kann es sich biegen oder nach unten klappen, ohne dass sich die Oberseite dehnt. Die obere Fläche dehnt sich tatsächlich ein wenig aus, weshalb selbst das gefloppte Blatt in einer gekrümmten Form floppt - es kommt ein Punkt, an dem sich die obere Fläche bei stärkerer Biegung mehr als die untere Fläche dehnen müsste, dass die Fasern von Papier widersteht, so dass es sich nicht mehr leicht biegt (ohne dass Sie es knittern oder so).

Aber nehmen Sie jetzt an, Sie biegen das Blatt entlang seiner Länge, auch nur leicht. Nun sind die "Oberseite" und "Unterseite der Kurve" nicht die beiden Oberflächen des Blechs, die einen winzigen Abstand voneinander haben. Sie sind das "Tal" des gebogenen Blechs und die beiden höheren Kanten (die beiden Seiten des Blechs). die sich nach oben biegen). Diese sind vertikal * viel * weiter auseinander als die beiden Oberflächen waren. Das Blatt Papier versucht also immer noch zu flattern, aber es kann überhaupt nicht (oder nur mikroskopisch oder an den Ecken) flattern, weil die " top" müsste sich jetzt stark dehnen, nur damit sich das Blatt ein wenig biegt. Papierfasern dehnen sich nicht gut (sie sind miteinander verbunden und widerstehen einer Dehnung über einen kleinen Betrag hinaus; sie werden stattdessen schließlich reißen). Schwerkraft ist auch '

Das Endergebnis ist, dass sich die Fasern an den "oberen" Kanten jetzt stark dehnen müssten, damit das Papier "floppt" - sie können sich also nicht genug dehnen, um zu flattern - und sie werden auch nicht genug nach unten gezogen zu reißen (oder auf andere Weise zu biegen). So bleibt das Blech einfach wo es ist. Das Blech wirkt jetzt also viel steifer.

Sie können dies sehen, indem Sie sich vorstellen, dasselbe zu versuchen, aber mit einer Silikonfolie oder etwas anderem, das wirklich schlaff und flexibel ist, anstelle von Papier. Jetzt funktioniert das Biegen des Blattes entlang seiner Länge nicht gut, da das Material selbst seiner "oberen" Oberfläche oder den Kanten überhaupt nicht widersteht, sich stark zu dehnen, sodass es immer noch einen Weg finden kann, nach unten zu fallen.

Lebendes Holz von Bäumen besteht aus verschiedenen Teilen, die auch interagieren, sodass es nach einer Weile splittert, aber nicht vollständig bricht. Aber das sollte Ihnen eine gute Vorstellung davon geben, was los ist. Beachten Sie jedoch, dass es sich um eine vereinfachte Version handelt.)

Das "Krümmen" des Papiers erhöht das zweite Flächenmoment , da es effektiv den Abstand der Papierquerschnittsfläche vom Schnittschwerpunkt vergrößert.

Die Steifigkeit eines Querschnitts ist proportional zum Quadrat des Abstands vom Schwerpunkt (siehe auch Parallelachsensatz ), sodass das Krümmen des Papiers seine Steifigkeit effektiv um mehrere Größenordnungen multipliziert, sodass das gekrümmte Papier eine minimale Verschiebung aufweist (= gerade bleibt). .

Hier ist ein weiteres Beispiel des gleichen Prinzips. Ein horizontal gehaltenes Papier biegt sich unter seinem eigenen Gewicht. Ein perfekt flaches Papier, das perfekt vertikal gehalten wird, ist perfekt in der Lage, sein eigenes Gewicht mit minimaler Verschiebung zu tragen. Es ist das gleiche Prinzip, radikale Erhöhung der Steifigkeit entlang der Biegerichtung durch Vergrößerung des Abstands vom Schwerpunkt.

Hinweis: Ich verwende hier "krümmen" als Verb, obwohl es wahrscheinlich nicht korrekt ist, um die Aktion nicht mit dem Effekt des Papierbiegens aufgrund der Schwerkraft zu verwechseln.

Alle diese anderen Antworten sind viel zu lang und kompliziert (obwohl wahrscheinlich technisch korrekter als meine Antwort). Wenn Sie das Papier biegen, erstellen Sie im Wesentlichen eine einseitige Hängebrücke. Stellen Sie sich eine Hängebrücke vor, die ein Tal/eine Schlucht/einen Fluss nicht vollständig überspannt, dh ein Ende hängt in der Luft. Wenn Sie das Blatt Papier falten, werden die senkrechteren Seiten zur Aufhängung, die das „Deck“ hochhält. Nehmen Sie die Aufhängung ab und das Deck hat nicht genug Kraft, um sein eigenes Gewicht zu halten.

Ich werde eine andere intuitive Antwort versuchen, da wir hier anscheinend einige technische Antworten haben. Wie Sie sagen, es geht um die elastischen Eigenschaften.

Wenn Sie das Papier faltenfrei halten, geben Sie der Oberfläche eine Randbedingung – in diesem Fall horizontal. Jeder Punkt auf dem Rest des Papiers spürt eine nach unten gerichtete Schwerkraft sowie parallele (elektrostatische) Kontaktkräfte zur Oberfläche. Diese Kräfte wirken jedoch vollständig in Richtung der Kurve, da die von Ihnen festgelegte Randbedingung keine Komponenten entlang der Translationsrichtung des Zylinders enthält (siehe Abbildung).

Wenn Sie diese Komponenten jedoch induzieren, indem Sie die Randbedingungen ändern, erzeugen Sie an jedem Punkt Kräfte in alle Richtungen (parallel zur Oberfläche). Diese Kräfte sind im Wesentlichen da, weil das Papier nicht diskontinuierlich verändert werden kann (das ist Teil der von Ihnen erwähnten elastischen Eigenschaften). Wenn das Papier lang genug ist, kann die Gravitationskraft schließlich gewinnen und das Papier kann herunterfallen (oder reißen oder zerknittern).

Ich denke, es liegt an der Struktur des Papiers. Die Fasern im Zellstoff, aus dem es aufgebaut ist, sind in einer Richtung ausgerichtet. Das ist auch der Grund, warum es viel einfacher ist, die Folie in eine Richtung (mit den Fasern) zu reißen als in die andere (über sie hinweg).