Form eines elastischen Stahllineals, das zwischen 3 Stiften gebogen ist

Ich fürchte, dass die Frage, so wie sie ist, schlecht gestellt ist und keine eindeutige Lösung hat (ich bin mir nicht sicher, was eine Lösung eigentlich ist). Zum Beispiel muss man wissen, was die Lagrange-Funktion ist (dh das elastische Potenzial), da es von Querschnitt / Dicke abhängt, ... Außerdem, wie lang das Lineal ist, an welchen Punkten es auf die Stifte treffen sollte und was sind die randbedingungen.

Um eine Antwort zu geben, habe ich mir ein paar Hypothesen ausgedacht, die zu mir passen: Die Kühe sind kugelförmig und leben in einem Vakuum, das Lineal ist unendlich dünn und die Stifte sind spitz. Das Lineal ist auch in der Länge nicht dehnbar$L$und hat eine Biegeenergie proportional zum Quadrat seiner Krümmung:

$$E \propto \int_0^L \kappa^2(s) \mathrm d s$$ Wo $s$ist die Koordinate entlang des Lineals. Wenn $x$ist die Position des Teilchens $s$Dann $$\kappa^2 = \langle\ddot x,\ddot x\rangle = \dot\theta^2$$ mit $\dot x = (\cos \theta,\sin \theta)$da unter der Unerweiterbarkeitsbeschränkung $\langle \dot x,\dot x\rangle = 1$. Minimierung $E$ergibt die Euler-Lagrange-Gleichung ( EDIT : Die folgenden Gleichungen wurden korrigiert): $$2\ddot \theta + \lambda_1 \cos\theta + \lambda_2 \sin\theta = 0$$ Wo $\lambda_{1,2}$sind Lagrange-Multiplikatoren. Diese kann nach Multiplikation mit einmalig integriert werden $\dot \theta$. Insgesamt ist die Gleichung des Lineals zwischen zwei Stiften implizit gegeben durch $$\int_0^s \frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{c-\lambda_1\sin\theta+\lambda_2\cos\theta}} = s.$$ Darin, $c$ist eine Integrationskonstante.

Sobald wir haben$\theta$(irgendwie numerisch), müssen wir noch einmal integrieren, um zu bekommen$x$. Was die Konstanten angeht$(c,\lambda_{1,2})$, wir müssen die Glätte über die Pins sicherstellen und wissen, an welchen$s_i$das Lineal geht durch den Stift bei$x_i$. Beachten Sie, dass dieses System möglicherweise keine Lösung zulässt, wenn die Positionen$x_i$liegen zu weit auseinander, so dass eine Undehnbarkeit nicht gewährleistet werden kann.

EDIT : Noch ein paar Details. Die Gesamtlänge des Lineals spielt eine Rolle. Hier ist ein extremes Szenario. Wenn die Länge des Lineals unendlich ist, gibt es eine Folge von Konfigurationen, die mit parametrisiert sind$R$so dass die Biegeenergie zu geht$0$als$R$geht ins Unendliche. In diesem Fall gibt es keine Lösung, die die Biegeenergie minimiert. Die geknickte Form in der Figur sollte bekannt sein. Es würde viel helfen, zum Beispiel zu sagen, dass das Lineal durch den ersten Stift bei geht$s_0=0$und durch die dritte an$s_3$= L. Wie für$s_2$, kann sie bestimmt werden, indem die Biegeenergie über den reduzierten Satz von Lösungskandidaten minimiert wird. Aber selbst in diesen Fällen bin ich mir nicht sicher, ob ein Knicken vollständig ausgeschlossen werden kann.