So bestimmen Sie die plastische Dehnungsrate

Zuerst werde ich eine Notation definieren. Ich bevorzuge die direkte Notation der modernen Kontinuumsmechanik, wie sie in diesem Buch von Gurtin et al. vorgestellt wird, daher werde ich die von Ihnen verwendeten Indizes nicht mitschleppen. Schließlich gilt für kleine Verformung geschwindigkeitsunabhängige Plastizität bei isotroper Verfestigung .

• $\mathbf{T}$= Cauchy-Spannungstensor
• $\mathbf{T}_0 = \mathbf{T} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\mathbf{T}) \mathbf{1}$= Deviatorischer Anteil der Cauchy-Spannung
• $\bar{\sigma} = \sqrt{\frac{2}{3} \mathbf{T}_0 : \mathbf{T}_0}$= Äquivalente Zugspannung
• $\mathbf{N}^p = \sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\mathbf{T}_0}{\bar{\sigma}}$= Richtung des plastischen Fließens (Kodirektionalität annehmen)
• $\mathbf{E} = \mathbf{E}^e + \mathbf{E}^p$= Additive Dehnungszerlegung
• $\mathbf{T} = \mathbb{C}:\mathbf{E}^e = (2G)\mathbf{E}^e + \lambda\mathrm{tr}(\mathbf{E}^e)\mathbf{1}$= konstitutive Gleichung für linearisierte Elastizität
• $\dot{\mathbf{E}}^p = \sqrt{\frac{3}{2}}\dot{\bar{\epsilon}}^p \mathbf{N}^p$
• $\dot{\bar{\epsilon}}^p = \sqrt{\frac{2}{3}} |\dot{\mathbf{E}}^p|$= äquivalente plastische Dehnungsrate
• $\bar{\epsilon}^p = \int_0^t \dot{\bar{\epsilon}}^p(t')\,dt'$= angesammelte plastische Dehnung
• $Y(\bar{\epsilon}^p)$= "Fließwiderstand" = 1D-Dehngrenze$\sigma_y$(Die Funktion von$\bar{\epsilon}^p$)
• $H(\bar{\epsilon}^p) = \frac{dY}{d\bar{\epsilon}^p}$= Kaltverfestigungsrate
• $f(\mathbf{T}_0, Y(\bar{\epsilon}^p)) = \bar{\sigma} - Y(\bar{\epsilon}^p) \le 0 \; \forall \,\mathbf{T}, \,Y$<-- Ertragsfunktion

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Als nächstes schreiben wir die Kuhn-Tucker-Konsistenzbedingung bei Ausbeute (die bei auftritt$f=0$):

• Wenn,$f = 0$Dann$\dot{\bar{\epsilon}}^p \dot{f} = 0$.

Dies mag wie eine starke Aussage erscheinen, und das ist es auch, aber wenn Sie an alle möglichen Belastungsarten von einem Punkt auf der "Fließfläche" (definiert als alle Spannungszustände, die geben, denken$f=0$), werden Sie feststellen, dass dies wahr ist.

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Jetzt wenden wir diese Bedingung an, um zu finden$\dot{\bar{\epsilon}}^p$. Zuerst berechnen$\dot{f}$.

$$\begin{align} \dot{f} &= \sqrt{\frac{3}{2}} \dot{\bar{\sigma}} - \dot{Y}\\ &= \sqrt{\frac{3}{2}} \frac{\dot{\mathbf{T}}_0 : \mathbf{T}_0}{|\mathbf{T}_0|} - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p\\ &= \sqrt{\frac{3}{2}} \dot{\mathbf{T}}_0 : \mathbf{N}^p - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p \\ &= \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)(2G)[\dot{\mathbf{E}} - \dot{\mathbf{E}}^p] : \mathbf{N}^p - H(\bar{\epsilon}^p)\dot{\bar{\epsilon}}^p \\ &= \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)(2G)\dot{\mathbf{E}} : \mathbf{N}^p - (3G + H)\dot{\bar{\epsilon}}^p \end{align}$$

Nun müssen wir drei Fälle betrachten: 1) elastische Entlastung, 2) neutrale Belastung, 3) plastische Belastung

1. Elastisches Entladen: Dies ist wie das Entlasten eines Körpers, der sich an seiner Streckgrenze befindet. Daher,$\dot{\bar{\epsilon}}^p = 0$, Und$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p < 0$. Deshalb,$\dot{f} < 0$.
2. Neutrales Laden: Dieser ist etwas kniffliger. Hier ist die Belastung tangential zur Fließfläche. Für diesen Fall ist die Dehnungsrate also orthogonal zur Richtung des plastischen Fließens$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p = 0$. Hier haben wir den Körper noch nicht plastisch belastet, also$\dot{\bar{\epsilon}}^p = 0$. In Codes wird dies normalerweise ohne besondere Berücksichtigung entweder von den obigen oder den folgenden Fällen behandelt, mit dem gleichen Ergebnis.
3. Plastic Loading: Hier belasten wir den Körper plastisch. Das bedeutet, dass$\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p > 0$. Seit$f=0$an der Fließfläche und$f$kann keinen positiven Wert haben, das bedeutet, dass$\dot{f} = 0$. So können wir den Wert von ermitteln$\dot{\bar{\epsilon}}^p$.

$$\dot{\bar{\epsilon}}^p = \frac{\sqrt{3/2} (2G) (\dot{\mathbf{E}}:\mathbf{N}^p)}{3G + H(\bar{\epsilon}^p)}$$

Ich habe einige der langweiligeren Algebra beschönigt und die Annahme begraben, dass$(3G + H)>0$, was für jeden Fall gilt, dem ich begegnet bin. Von hier aus können Sie den sogenannten "elasto-plastischen" Modul berechnen, der für die implizite Integration in einer Finite-Elemente-Methode erforderlich ist.