Intuition für Stress und der Cauchy-Stress-Tensor

Ich habe Mühe, ein intuitives Verständnis dafür zu bekommen, was genau Stress ist, insbesondere die damit verbundene "Richtung".

Bei einem 1-dimensionalen Stab mit nur einachsiger Belastung wurde mir die Beanspruchung gerecht erklärt ± F A Wo F ist die an jedem Ende ausgeübte Kraft, A ist die Querschnittsfläche und das Vorzeichen bezieht sich auf Zug oder Druck. Diese Erklärung ist als Formel in Ordnung, aber ich sehe nicht, wie sie sich auf "innere Kräfte" bezieht.

Ich habe andere Quellen gefunden, die es mit einem "imaginären Schnitt" durch das Material erklären, eine Seite des Schnitts ignorieren und dem anderen Stück ein Gleichgewicht auferlegen. Warum können beide Seiten "ignoriert" werden? Wenn Spannung die innere Kraft pro Flächeneinheit ist, warum trägt dann der vernachlässigte Teil nicht zur Spannung bei? (Schließlich teilt der vernachlässigte Teil die Oberfläche).

Im allgemeineren Fall mit dem Stress Tensor,

T = [ σ X X τ X j τ X z τ j X σ j j τ j z τ z X τ z j σ z z ]

Beschreibt jede der Komponenten die Spannung auf den Oberflächen eines infinitesimalen Volumens? Wenn ja, welche Flächen beschreiben sie (es gibt 2 Flächen senkrecht zu jeder Richtung) - ist es die Summe der Spannungen auf jeder Fläche?

Jeder Einblick in diese Fragen wäre sehr willkommen, danke fürs Lesen

Antworten (2)

Beschreibt jede der Komponenten die Spannung auf den Oberflächen eines infinitesimalen Volumens?

Im Wesentlichen ja.

Wenn ja, welche Flächen beschreiben sie (es gibt 2 Flächen senkrecht zu jeder Richtung) - ist es die Summe der Spannungen auf jeder Fläche?

Die Annahme ist, dass das Volumen sowohl translatorisch als auch rotatorisch im Gleichgewicht ist. Auf dieser Grundlage sind die diagonalen Terme die aufgebrachten externen Normalspannungen auf den Flächen des Würfels. Es gibt sechs Flächen, aber die Normalspannung auf jeder gegenüberliegenden Fläche ist für das Translationsgleichgewicht gleich und entgegengesetzt, sodass im Tensor nur drei angegeben sind. Wenn es nur eine Normalspannung auf einem Paar gegenüberliegender Flächen und keine aufgebrachte Scherspannung auf der Fläche gäbe, hätten Sie Ihre einachsige Spannungsgleichung. Sie können dies in der Abbildung im Wikipedia-Link sehen, der von @nicoguaro bereitgestellt wurde, außer dass σ wird für Schubbeanspruchung an verwendet e wird bei normaler Belastung eingesetzt.

Die nichtdiagonalen Terme sind die Scherspannungen auf jeder Fläche. Sechs sind angegeben, aber drei Paare sind identisch, z. τ X j = τ j X . Dies muss so sein, damit sich der Würfel nicht dreht. Zum Beispiel in Bezug auf @nicoguaro-Indizes, σ 21 = σ 12

Hoffe das hilft.

Wir könnten vom Cauchy-Postulat ausgehen, wo wir eine beliebige Ebene nehmen, die durch einen Normalenvektor definiert ist N ^ und mit endlicher Fläche Δ S , und berechnen Sie die Traktion in dieser Ebene Δ R (Hier vernachlässige ich die Paare Δ M da sie im klassischen Fall verschwinden sollten).

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wenn wir die Grenze nehmen, wenn die Größe des Ares auf Null geht, landen wir bei der Definition der Traktion an einem bestimmten Punkt (in Indexnotation).

T ich ( N ^ ) = σ J ich N J .

Das sagt uns, dass der Effekt, den wir sehen (Traktion), die Projektion eines Tensors ist σ J ich . Das bedeutet, dass die inneren "Kräfte" durch diesen Tensor charakterisiert werden und wir sie über eine Projektion untersuchen, indem wir Traktionen berechnen.

Dann können wir die Komponenten des Spannungstensors interpretieren, indem wir die Ebene verwenden, über die wir projizieren, und die Richtung, die dem gegebenen Traktionsvektor zugeordnet ist. Wie in der folgenden Abbildung aus dem Wikipedia-Artikel con Cauchy stress gezeigt .

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