Wofür genau ist das Hookesche Gesetz definiert?

Das Hookesche Gesetz beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung sowie den linearen Zusammenhang zwischen Kraft und Weg. Es ist nicht „definiert“ für „Dinge“. Es wird auf Dinge angewendet. Eines dieser Dinge ist eine Feder.

Beim reinen Biegen von Balken werden die äußeren Fasern auf Zug und die inneren Fasern auf Druck beansprucht, was zu einer Dehnung bzw. Verkürzung der Fasern und einer Balkenauslenkung führt. Bei kleinen Verschiebungen der Krümmungsradius$r$der Durchbiegung des Trägers ist proportional zum Elastizitätsmodul$E$entsprechend

$$r=\frac{EI}{M}$$

Wo$M$= Biegemoment u$I$= Trägheitsmoment um die Schwerachse.

Also ja, das Hookesche Gesetz kann auf viele Belastungssituationen angewendet werden.

Hoffe das hilft

Ich würde behaupten, dass es noch allgemeiner ist, als Sie vermuten.

Angenommen, Sie haben ein Objekt mit Bewegungsparametern$\theta$, und dieser Parameter hat eine Gleichgewichtsposition$\theta_0$. Vielleicht$\theta$repräsentiert Dehnung, vielleicht repräsentiert es Biegen, vielleicht repräsentiert es Verdrehen, vielleicht repräsentiert es tatsächlich die Position im 3D-Raum, wer weiß.

Die Lagrange-Mechanik lehrt uns, dass wir für diesen Parameter (wie Kraft, Drehmoment oder Biegemoment) eine verallgemeinerte Kraft definieren können, die uns sagt, wie sich der Parameter im Laufe der Zeit entwickelt. Und, was wichtig ist, die verallgemeinerte Kraft wird durch die potentielle Energiefunktion des Objekts bestimmt,$V(\theta)$, die vom Parameter abhängt. Speziell$F = -\frac{dV}{d\theta}$.

Damit sich das Objekt im Gleichgewicht befindet, muss die verallgemeinerte Kraft Null sein, also$\left.\frac{dV}{d\theta}\right|_{\theta_0} = 0$. Wenn wir uns dann Bewegungen ansehen, die nahe am Gleichgewicht liegen, finden wir$\frac{dp_\theta}{dt} = -\frac{dV}{d\theta} = -\left.\frac{dV}{d\theta}\right|_{\theta_0}-\left.\frac{d^2V}{d\theta^2}\right|_{\theta_0}(\theta-\theta_0)+\dots$

$$\frac{dp_\theta}{dt} = -\left.\frac{d^2V}{d\theta^2}\right|_{\theta_0}(\theta-\theta_0)+\dots$$ So lange wie$\theta$nahe am Gleichgewicht ist, ist die Kraft im Grunde nur das Hookesche Gesetz mit "Federkonstante"$k = \left.\frac{d^2V}{d\theta^2}\right|_{\theta_0}$.

Immer wenn sich eine Kombination von meist konservativen Kräften (wie die Kräfte zwischen Atomen in einem festen Objekt) zu einem Gleichgewicht zusammenschließt, wird die Bewegung in der Nähe dieses Gleichgewichts durch das Hookesche Gesetz bestimmt. Deshalb sehen Sie es komprimiert und verdreht und gebogen und alle möglichen Dinge.

Hier ist ein Auszug aus dem Wiki-Artikel zum Hookeschen Gesetz. Es gibt die Beziehung zwischen den lokalen Spannungen und lokalen Dehnungen in 3D an. Es gilt an jeder beliebigen Stelle innerhalb des Materials.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$ In diesen Gleichungen ist E der Elastizitätsmodul und G der Schubmodul (der durch eine einfache Gleichung mit dem Elastizitätsmodul und dem Poisson-Verhältnis in Beziehung steht).

Nur Google Hookes Gesetz.