Dehnung eines Drahtes mit ungleichmäßigem Querschnitt unter seinem Eigengewicht (Festkörpermechanik)

Question

Dehnung eines Drahtes mit ungleichmäßigem Querschnitt unter seinem Eigengewicht (Festkörpermechanik)

Alan

Kürzlich ein Kapitel über Festkörpermechanik in der Schule abgeschlossen .

Unter den zahlreichen Szenarien/Beispielen, die unser Lehrer zur Verfügung stellte, war ein Fall eines Drahtes mit ungleichmäßiger Querschnittsfläche, der sich unter seinem eigenen Gewicht dehnen konnte, indem er an einem Ende an der Decke aufgehängt wurde.

Der Draht sieht aus wie ein Kegelstumpf, wobei das kleinere Ende einen Radius hat $r$ und das größere Ende hat einen Radius $R$ . Die Länge/Höhe (vor der Aufhängung) des Kegels ist $h$ . Es hat eine Masse $M$ und ein Elastizitätsmodul $Y$ .

^ Bestes Bild, das ich online finden konnte

Und unser Lehrer fuhr fort, uns die "Formel" zu geben, die verwendet werden sollte, um die Längenänderung zu finden $x$ :

X = \frac{M G H}{π R R Y}

$x = \frac {Mgh}{πRrY}$

Wo $g$ ist die Erdbeschleunigung.

Das Thema? Wir wissen nicht, wie es hergeleitet wird, geschweige denn ... ob es überhaupt richtig ist .

Als ich auf diese auf ein Blatt Papier geschriebene Formel starrte, wurde mir klar, dass sie eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit der allgemeinen Gleichung aufwies, die den Elastizitätsmodul mit der ausgeübten Kraft, der Länge des Objekts, der Querschnittsfläche des Objekts und der Längenzunahme in Beziehung setzt.

Y = \frac{F . L}{A . X}

$Y = \frac {F.L}{A.x}$

Was impliziert;

X = \frac{F . L}{A . Y}

$x = \frac {F.L}{A.Y}$

Und das ist analog zu der Formel meines Lehrers.

In diesem Fall nehme ich jedoch eine starke Ausnahme von der Verwendung von $πRr$ als $A$ . Da es sich um einen Draht mit ungleichmäßigem Querschnitt handelt, einfach ersetzen $A$ mit $πRr$ wirkt lächerlich.

Da jedoch die Variation/der Gradient des Radius in Bezug auf die Länge stetig ist (für einen Kegelstumpf), erscheint es ratsam, ihn zu ersetzen $A$ mit dem mittleren/durchschnittlichen Querschnitt (da der Radius gleichmäßig über den Draht variiert, würde das einfache Nehmen des Durchschnitts der extremen Radienwerte das gleiche Ergebnis liefern wie die Verwendung der Integration, um den gleichen zu erhalten ... letzteres ist bequemer) Bereich des Kabel:

A = \frac{π R^{2} + π R^{2}}{2}

$A = \frac {πR^2 + πr^2}{2}$

Was in der allgemeinen Formel ergeben sollte;

X = \frac{F . L}{A . Y}

$x = \frac {F.L}{A.Y}$

=> X = \frac{(M G) . L}{(\frac{π R^{2} + π R^{2}}{2}) Y}

$=> x = \frac {(Mg).L}{(\frac {πR^2 + πr^2}{2})Y}$

Das unterscheidet sich von dem, das mein Lehrer bereitgestellt hat.

Also meine Frage;

1) Ist die von meinem Lehrer bereitgestellte Formel korrekt? Wenn ja, wie wurde es abgeleitet?

2) Wenn die Formel, die ich mir ausgedacht habe, falsch ist, wo habe ich mich dann geirrt?

Sammy Rennmaus

mathalino.com/reviewer/mechanics-and-strength-of-materials/…

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Sammy Rennmaus · Answer 1

Wo habe ich mich geirrt?

Die gleichung $x=\frac{F}{A}\frac{L}{Y}$ gilt für jede infinitesimal dünne horizontale Schicht des Drahtes.

Wenn die Querschnittsfläche $A$ des Drahtes waren dann konstant $F$ (= Gewicht des Drahtes unter jeder Schicht) würde linear mit zunehmen $y$ , die Höhe von unten nach oben. Denn die einzige Variante (die in $F(y)$ ) ist linear, die Gesamtausdehnung $x$ für den gesamten Draht kann durch Verwendung des Durchschnittswerts von ermittelt werden $F$ an den Enden. Dies ist genauso wie das Ermitteln der Fläche unter einer geraden Linie aus der Reichweite und der durchschnittlichen Höhe an den Enden.

Jedoch für ungleichmäßige Drahtfläche $A(y)$ nimmt dabei (linear) von unten nach oben ab $F(y)$ steigt, aber nicht mehr linear. Die Gesamtvariation ist wahrscheinlich nicht linear. Die Mittelwertbildung zwischen den Endwerten funktioniert also nicht mehr. Dies ist derselbe Grund, warum die Fläche unter einer nichtlinearen Kurve nicht unbedingt gleich der Reichweite multipliziert mit der durchschnittlichen Höhe an den beiden Enden ist.

Siehe auch die funktionierende Lösung für dieses Problem auf der Mathalino-Website .

Vielen Dank! Tut mir leid, dass ich eine Weile gebraucht habe, um zu antworten [Ich bin auf dieser Seite nicht besonders aktiv, O :) ]. Diese Antwort ist viel einfacher zu verstehen als die anderen Antworten. Danke noch einmal! Auch der Link, den Sie gepostet haben (unter meiner Frage), war hilfreich ^_^
Könnten Sie diesen Link möglicherweise auch in Ihre Antwort aufnehmen? Danke noch einmal!

Färcher · Answer 2

Sie müssen eine Integration durchführen, anstatt zu mitteln. und verwende die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes.
Beziehe die Dichte des Kegels $\rho$ zu seiner Masse $M$ und seine Dimensionen $h,\, r$ Und $R$ .

Lassen $z$ sei der Abstand einer Scheibe der Dicke $dz$ von der Unterseite des Kegels und der Radius dieser Scheibe sein $x$ .
Sie müssen den Radius der Scheibe beziehen $x$ zum Abstand der Scheibe vom Boden $z$ und um das Gewicht des Kegelstumpfes der Höhe zu finden $z$ unterhalb der Scheibe.
Auf diese Weise können Sie die Ausdehnung der Scheibe berechnen und dann für alle Scheiben integrieren, aus denen der Kegelstumpf besteht, um die Gesamtausdehnung zu finden.

Vielen Dank für die Antwort. Es ergibt Sinn; aber ich akzeptiere die Antwort von @sammy, weil ich sie "intuitiver" finde, wenn Sie so wollen. Ich muss mich bei Ihnen entschuldigen (als erste Person, die eine Antwort gepostet hat), da ich Ihre Antwort nicht akzeptiert habe (ich habe jedoch positiv gestimmt). Vielen Dank, mein Herr!

Chet Miller · Answer 3

Führt man auf dem Drahtabschnitt zwischen x und x + dx (wobei x nach oben gemessen wird) einen Differenzkraftausgleich durch, erhält man:

σ (X + D X) A (X + D X) - σ (X) A (X) = ρ G A (X) D X

$\sigma(x+dx)A(x+dx)-\sigma(x)A(x)=\rho g A(x)dx$ Wo

σ

$\sigma$ die Zugspannung und A die lokale Querschnittsfläche ist. Dies führt auf die Differentialgleichung:

\begin{matrix} (1) & \frac{D (σ A)}{D X} = ρ G A \end{matrix}

$\frac{d(\sigma A)}{dx}=\rho g A\tag{1}$ Die lokale Dehnung im Draht ist

\begin{matrix} (2) & ϵ (X) = \frac{σ (X)}{Y} \end{matrix}

$\epsilon(x)=\frac{\sigma(x)}{Y}\tag{2}$ Also die Längenänderung des Drahtes

\begin{matrix} (3) & Δ L = \int_{0}^{H} ϵ D X \end{matrix}

$\Delta L=\int_0^h{\epsilon dx}\tag{3}$ Sie müssen also Gl. 1 für

σ

$\sigma$ als Funktion von x, vorbehaltlich der Anfangsbedingung, dass

σ = 0

$\sigma=0$ bei x = 0 (der Unterseite des Drahtes). Sie setzen dies dann in die Gleichungen 2 und 3 ein, um die Längenänderung zu erhalten.

Die Lösung, die durch die Implementierung dieser Methodik erhalten wird, lautet:

\begin{matrix} (4) & Δ L = \frac{M G H (R + R / 2)}{π Y R (R^{2} + R R + R^{2})} \end{matrix}

$\Delta L=\frac{Mgh(R+r/2)}{\pi Yr(R^2+Rr+r^2)}\tag{4}$ Das Ergebnis Ihres Lehrers passt nur dann dazu, wenn R>>r.

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