Wie ändert sich die Spannung durch einen Stab, der im Durchmesser stark zunimmt?
Evolvente
Ich möchte den Stress anhand des folgenden Balkens analysieren:
Der Stab hat einen kreisförmigen Querschnitt, ist homogen im Material, das heißt, er hat auf der einen Hälfte einen bestimmten Durchmesser und auf der anderen Hälfte einen großen Durchmesser. Sie können es als zwei miteinander verschweißte Stäbe mit unterschiedlichen Durchmessern betrachten, wobei die Mittellinien beider Stäbe kollinear sind. An beiden Enden des Stabes wirken gleichmäßige normale Zugspannungen, so dass das Gleichgewicht erfüllt ist.
Konkret möchte ich wissen, welche physikalischen Grundlagen erforderlich sind, um die Verteilung der auf den Stabquerschnitt wirkenden Axialspannungen an allen Stellen entlang des Stabes mathematisch zu bestimmen.
Intuitiv könnte man sagen, dass die Spannung entlang der Länge des Stabs gleichmäßig ist, da die Spannungen an beiden Enden gleichmäßig sein müssen. Ich argumentiere jedoch anders, besonders wenn Sie auf die Mitte des Balkens schauen, wo der Durchmesser ansteigt.
Ich würde zustimmen, dass die Spannung im Teil der Stange mit dem kleineren Durchmesser gleichmäßig ist, aber die Spannungsverteilung beginnt sich allmählich zu ändern, sobald Sie den Punkt erreichen, an dem sich der Durchmesser ändert.
In der Hälfte des Stabes mit größerem Durchmesser: Nahe dem Punkt der Durchmesseränderung ist die Spannung meines Erachtens so verteilt, dass sich die Spannung in der Mitte des Stabes konzentriert. Ich glaube das, da die Ringfläche auf der Stabhälfte mit großem Durchmesser unbelastet ist. Wenn Sie sich dann dem Ende der dickeren Hälfte nähern, beginnt die Spannungsverteilung gleichmäßiger zu werden. Es ist fast so, als ob Sie einen mit Wasser gefüllten Zylinder nehmen und sofort den Durchmesser des Zylinders vergrößern und das Wasser seine Form ändert, um sich der Form des breiten Zylinders anzupassen, und eine gleichmäßige Tiefe erreicht.
Die folgenden Diagramme helfen, mein intuitives Verständnis der Spannungsverteilung zu veranschaulichen:
Ist dieses intuitive Verständnis richtig/plausibel? Lässt sich das mathematisch nachweisen? Welche Prinzipien können angewendet werden? Bei der Analyse von Biegebalken verwenden Sie beispielsweise das Gleichgewichtsprinzip, das Hookesche Gesetz und die Annahme der geometrischen Verformung, dass ebene Abschnitte in Balken nach der Verformung eben bleiben. Kann eine ähnliche Liste von Prinzipien in dieser Frage verwendet werden? (Bis jetzt kommen mir Gleichgewicht und Hookesches Gesetz in den Sinn).
Vielen Dank im Voraus!
Antworten (2)
Tyler Olsen
Es ist schwierig, dies analytisch zu tun, aber dafür haben wir Computer. Ich habe ein kommerzielles FEM-Paket verwendet, um Ihr Problem einzurichten und Stahl mit einigen Dummy-Belastungsbedingungen zu simulieren.
Ihre Intuition ist im Grunde genommen aus der Ecke richtig. In der Tat ist die Spannung weit von der Ecke entfernt einheitlich und weist nur in der Nähe des Merkmals ein interessantes Verhalten auf. Allerdings hast du nicht ganz recht damit, wie sich der Stress an der Schnittstelle verteilt. Die Ecke erzeugt im Spannungsfeld eine Einzigartigkeit, die sich am besten mit einem Bild beschreiben lässt. Das erste Bild zeigt Konturen der axialen Spannungskomponente. Machen Sie sich keine Gedanken über die tatsächlichen Stresswerte. Diese sind abhängig von der Belastung und skalieren einfach mit der aufgebrachten Traktion.
Um einen quantitativeren Überblick darüber zu erhalten, wie sich die Spannung an verschiedenen Querschnitten ändert, habe ich ein paar Diagramme erstellt, die oben im dicken Abschnitt beginnen und sich nach unten in den dünnen Abschnitt bewegen. Die Plots sind die axiale Spannung (normalisiert durch die Fernfeldspannung im dicken Abschnitt) gegen die x-Position. Wie Sie im dritten Diagramm von unten sehen können, ist die Spannung an der Ecke viel höher als die Spannung in der Masse. Eine sukzessive Verfeinerung des Netzes würde zeigen, dass dies tatsächlich eine echte Singularität ist, also würde die Betonung auf gehen wenn die Maschenweite .
Beachten Sie, dass es nicht verwunderlich ist, dass die mittlere Spannung bei kleinem Durchmesser ~4 beträgt, da dies eine 3D-Berechnung eines zylindrischen Körpers und des Verhältnisses von war .
rdt2
Die Wasseranalogie ist gut, aber betrachte das Wasser als Kraft und nicht als Stress. Gleichgewicht gilt für Kräfte, nicht für Spannungen, und im Wesentlichen tritt das, was an einem Ende hineinfließt, am anderen Ende wieder aus. In Mechanik 1 würden Sie einfach die Kraft in jedem Element mit konstanter Fläche durch seine Fläche dividieren, um die durchschnittliche Spannung in dem Element zu erhalten.
Wie die FEA von @Tyler zeigt, sagt Ihnen diese einfache Analyse jedoch nicht, was in der Nähe des Abschnittswechsels vor sich geht. Wenn Sie keinen Zugang zu FEM haben, gibt es analytische Lösungen und Nachschlagewerke, zB Roark's Formulas for Stress and Strain für den Spannungskonzentrationsfaktor als Funktion des Eckenradius.
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Tyler Olsen
rdt2
Tyler Olsen