Was ist die Querschnittsfläche einer Kugel in Bezug auf die Druckspannung F/AF/AF/A?

Der Grund, warum Sie Geometrien mit konstantem Querschnitt in Einführungskursen sehen, ist, dass ihre Steifigkeit (dh die Last, die erforderlich ist, um eine gegebene Verschiebung zu erhalten) für kleine Verschiebungen konstant ist. Dies ist bei einer Kugel oder einer anderen Geometrie nicht der Fall, deren Kontaktfläche bei kleinen Lasten auf Null schrumpft. Für eine sanfte Berührung haben diese Geometrien eine nahezu unendliche Nachgiebigkeit! Dieses Verhalten wird auf dem Gebiet der Kontaktmechanik untersucht (siehe z. B. Johnson's Contact Mechanics und Fischer-Cripps's Nanoindentation ). Sie haben Recht, dass der Kontaktbereich in diesem Zusammenhang ein wichtiger Parameter ist.

Der Fall kleiner Verformung für eine Kugel, die eine flache Oberfläche berührt, hat eine exakte Lösung für eine einzelne Seite ( Fall 2 hier ): die Verformung$\alpha$(unter Beibehaltung der im Link verwendeten Nomenklatur) ist

$$\alpha=\frac{(3\pi)^{2/3}}{2}P^{2/3}\left(\frac{1-\sigma^2}{\pi E}\right)^{2/3}D^{-1/3}=\frac{1}{2D^{1/3}}\left(\frac{3P}{ E^\star}\right)^{2/3},$$

Wo$P$ist die aufgebrachte Kraft,$\sigma$ist die Querkontraktionszahl der Kugel,$E$ist der Elastizitätsmodul der Kugel,$D$ist der Kugeldurchmesser, und$E^\star=\frac{E}{1-\sigma^2}$ist der reduzierte Elastizitätsmodul.

(Eine effektive Kontaktfläche könnte man, analog zu einem prismatischen Körper, durch Auswerten berechnen$\frac{PD}{\alpha E}$, aber das ist meines Wissens nicht allzu nützlich. Stattdessen ist die eigentliche Kontaktfläche$\left(\frac{3PD}{8E^\star}\right)^{1/3}$, was bei Ihrem Ähnlichkeitsvergleich von Kugeln unterschiedlicher Größe hilfreich sein kann.)

Um eine zweite Seite (die andere Seite) hinzuzufügen, wenden wir Symmetrie an, um Fall 3 im Link zu erhalten .

In Bezug auf das Nachgeben gibt Johnson die Nachgiebigkeitslast an$P_\mathrm{Y}$bei Anwendung des von-Mises-Kriteriums als

$$P_\mathrm{Y}=\frac{\pi^3D^2}{24E^{\star 2}}(1.60Y)^3.$$ Wo$Y$ist die Fließspannung. Im Vergleich,$P_\mathrm{Y}=\frac{\pi D^2}{4}Y$beim Aufbringen einer Axiallast auf einen Zylinder mit Durchmesser$D$. Johnson stellt daher fest, dass beim Entwerfen der Festigkeit für gekrümmten Kontakt ein niedriger Elastizitätsmodul wünschenswert ist (der Elastizitätsmodul ist kein Faktor für das Nachgeben im Fall eines flachen Kontakts am Ende der prismatischen Form). Dies ist intuitiv sinnvoll, da die Last über die größere Kontaktfläche eines nachgiebigeren Materials verteilt wird.