Definition von Scherbelastung

Seien (x,y) die Koordinaten eines beliebigen Materialpunktes in der unverformten Konfiguration des Materials, und seien u(x,y) und v(x,y) die Verschiebungen dieses Materialpunktes in x- und y-Richtung , bzw. Dann sind die Koordinaten des Materialpunktes in der verformten Konfiguration des Materials (x+u,y+v). Der differentielle Positionsvektor zwischen zwei eng benachbarten Punkten in der deformierten Konfiguration des Materials ist:

$$\mathbf{ds}=\left(dx+\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\right)\mathbf{i}+\left(dy+\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)\mathbf{j}$$ Das Quadrat dieses differentiellen Positionsvektors (in der verformten Konfiguration des Körpers) ist zu linearen Termen in den Verschiebungen gegeben durch: $$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2+2\frac{\partial u}{\partial x}(dx)^2+2\frac{\partial u}{\partial y}dxdy+2\frac{\partial v}{\partial y}(dy)^2+2\frac{\partial v}{\partial x}dxdy$$ Subtrahiert man das Quadrat der Länge des differentiellen Ortsvektors im unverformten Zustand des Materials, erhält man: $$(ds)^2-(ds)_0^2=2\frac{\partial u}{\partial x}(dx)^2+2\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)dxdy+2\frac{\partial v}{\partial y}(dy)^2$$ Wo $$(ds)^2_0=(dx)^2+(dy)^2$$ Als nächstes teilen wir durch $(ds)^2_0$, wir erhalten: $$\frac{(ds)^2-(ds)_0^2}{(ds)^2_0}=2\left[\frac{\partial u}{\partial x}\cos^2{\alpha}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\frac{\partial v}{\partial y}\sin^2{\alpha}\right]$$ Der Term in Klammern ist die Dehnung im differentiellen Positionsvektor zwischen der unverformten und der verformten Konfiguration des Materials:

$$\epsilon=\epsilon_{xx}\cos^2{\alpha}+2\epsilon_{xy}\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\epsilon_{yy}\sin^2{\alpha}$$ Dies veranschaulicht, wie die partiellen Ableitungen der Verschiebungen (einschließlich der Schubkomponenten) mit den Längenänderungen der Materialelemente zusammenhängen.