Jaumann deviatorische Stressrate

Question

Jaumann deviatorische Stressrate

Physik
Stress-Belastung
Solid-Mechanik
Tensorkalkül
Kontinuumsmechanik

1Kurze Frage

Hintergrund zu Begriffen in dieser Frage: Hookes-Gesetz und objektive Stressraten

Nach meinem Verständnis wird die Jaumann-Rate des deviatorischen Stresses wie folgt geschrieben:

D S / D T = \overset{△}{S} = \dot{S} + S \cdot w - w \cdot S

$dS/dt = \overset{\bigtriangleup}{{S}} = {\dot{S}} +{S} \cdot {w} -{w} \cdot {S}$

Aber wenn ich es in der Praxis sehe, steht es geschrieben als:

D S^{ich J} / D T = 2 μ ({\dot{ϵ}}^{ich J} - \frac{1}{3} δ^{ich J} {\dot{ϵ}}^{ich J}) + S^{ich k} Ω^{J k} + Ω^{ich k} S^{k J}

$\mathrm{d}{{S}}^{ij}/ \mathrm{d}t = 2\mu\left({\dot{{\epsilon}}}^{ij} - \frac{1}{3}{\delta}^{ij}{\dot{{\epsilon}}}^{ij} \right)+{{S}}^{ik}{{\Omega}}^{jk}+{{\Omega}}^{ik}{{S}}^{kj}$

Für mich heißt das:

D S / D T = \overset{△}{S} = \dot{S} + S \cdot w^{'} + w \cdot S

$dS/dt = \overset{\bigtriangleup}{{S}} = {\dot{S}} +{S} \cdot {w'} +{w} \cdot {S}$

Meine Frage ist: Woher kommen die Spintensor-Transponierung und das Pluszeichen?

Ich dachte, dass dies etwas mit Oldroyd und konvektiven Spannungsraten zu tun haben könnte, aber das verwendet eher den Tensor der Geschwindigkeitsgradienten als den Spin-Tensor.

Bearbeiten - Klärung, woher der Begriff der deviatorischen Dehnungsrate stammt.

Für einen isotropen, elastischen Festkörper ist der Spannungstensor gegeben durch:

σ^{ich J} = 2 μ ϵ^{ich J} + λ δ^{ich J} (ϵ^{k k})

${\sigma}^{ij} = 2\mu{\epsilon}^{ij} + \lambda \delta^{ij}({\epsilon}^{kk})$

Dann kann die deviatorische Spannung geschrieben werden als:

S^{ich J} = 2 μ ϵ^{' ich J} + λ δ^{ich J} ({ϵ^{'}}^{k k})

${S}^{ij} = 2\mu{\epsilon}'^{ij} + \lambda \delta^{ij}({\epsilon'}^{kk})$

Da die deviatorische Dehnung spurlos ist, kann die deviatorische Spannungsrate geschrieben werden als:

{\dot{S}}^{ich J} = 2 μ {\dot{ϵ^{'}}}^{ich J}

${\dot{S}}^{ij} = 2\mu\dot{{\epsilon'}}^{ij}$

Die deviatorische Dehnungsrate kann in Bezug auf die Dehnungsrate umgeschrieben werden, was ergibt:

{\dot{S}}^{ich J} = 2 μ [{\dot{ϵ}}^{ich J} - \frac{1}{3} δ^{ich J} {\dot{ϵ}}^{ich J}]

${\dot{S}}^{ij} = 2\mu\left[{\dot{\epsilon}}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}{\dot{\epsilon}}^{ij}\right]$

Tyler Olsen

Können Sie auf die Referenz verweisen, in der Sie die ausgeschriebenen Indizes gesehen haben? Und wo ist der isotrope Teil Ihres Stresses geblieben? Du hast die zeitliche Ableitung der deviatorischen Dehnung da, aber nichts darüber

{\dot{ϵ}}_{k k}

$\dot{\epsilon}_{kk}$

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Verweis darauf, wo die Indizes ausgeschrieben werden. Bei Bedarf kann ich andere zur Verfügung stellen. Der Frage wurde ein Abschnitt hinzugefügt, der die Ursprünge der deviatorischen Stressrate erklärt.

Tyler Olsen

Entschuldigung für die Verzögerung. Abgabetermine für Abschlussarbeiten fordern... Egal, die Antwort ist unten.

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Jaumann deviatorische Stressrate

Können Sie auf die Referenz verweisen, in der Sie die ausgeschriebenen Indizes gesehen haben? Und wo ist der isotrope Teil Ihres Stresses geblieben? Du hast die zeitliche Ableitung der deviatorischen Dehnung da, aber nichts darüber $\dot{\epsilon}_{kk}$
Verweis darauf, wo die Indizes ausgeschrieben werden. Bei Bedarf kann ich andere zur Verfügung stellen. Der Frage wurde ein Abschnitt hinzugefügt, der die Ursprünge der deviatorischen Stressrate erklärt.
Entschuldigung für die Verzögerung. Abgabetermine für Abschlussarbeiten fordern... Egal, die Antwort ist unten.

kamipeer · Answer 1

Es scheint, dass Sie das Jaumann-Derivat verwechselt haben $\overset{o}{{S}}$ (in deiner Notation $\overset{\bigtriangleup}{{S}}$ ) mit der zeitlichen Ableitung ${\dot{S}}$

\frac{D S}{D T} = \dot{S} = \overset{Ö}{S} - S \cdot w + w \cdot S

$\frac{dS}{dt} = {\dot{S}} = \overset{o}{{S}} -{S} \cdot {w} +{w} \cdot {S}$

Sehen Sie, wie es in " http://www.continuummechanics.org/cm/corotationalderivative.html " abgeleitet wird. Mit dem Argument, dass $w^T = -w$ wir bekommen

\frac{D S}{D T} = \dot{S} = \overset{Ö}{S} + S \cdot w^{T} + w \cdot S

$\frac{dS}{dt} = {\dot{S}} = \overset{o}{{S}} +{S} \cdot {w^T} +{w} \cdot {S}$

Wenn Sie außerdem "klargestellt" haben, woher die deviatorische Belastung kommt, sind mir nicht alle Schritte klar, die Sie befolgt haben. Denn eigentlich ist die zeitliche Ableitung nicht gleich dem Begriff $\left({\dot{{\epsilon}}}^{ij} - \frac{1}{3}{\delta}^{ij}{\dot{{\epsilon}}}^{ij} \right)$ sondern das Jaumann-Derivat. Dazu können Sie sich das Hookesche Gesetz und objektive Stressraten ansehen

Konkreter die Ableitung der Formel für die Jaumann-Spannung

\overset{Ö}{S^{ich J}} = 2 μ [{\overset{Ö}{ϵ}}^{ich J} - \frac{1}{3} δ^{ich J} {\overset{Ö}{ϵ}}^{ich J}]

$\overset{o}{{S}^{ij}} = 2\mu\left[{\overset{o}{\epsilon}^{ij}} - \frac{1}{3}\delta^{ij}{\overset{o}{\epsilon}^{ij}}\right]$

ist in Hooke's Law Wikipedia und in "An Introduction to Continuous Mechanics, Klaus Hackl, Mehdi Goodarzi" abgeleitet. Hier zeige ich jedoch eine Zusammenfassung der Herleitung der Jaumann-Spannung.

Die Definition von deviatorischem Stress ist gerecht

σ = (\begin{matrix} \frac{σ_{11}}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{σ_{22}}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{σ_{33}}{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} σ_{11} - \frac{σ_{11}}{3} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} - \frac{σ_{22}}{3} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} - \frac{σ_{33}}{3} \end{matrix})

$\sigma = \begin{pmatrix} \frac{\sigma_{11}}{3} & 0 & 0\\ 0 & \frac{\sigma_{22}}{3} & 0\\ 0 & 0 & \frac{\sigma_{33}}{3}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_{11} - \frac{\sigma_{11}}{3} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} - \frac{\sigma_{22}}{3} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}- \frac{\sigma_{33}}{3}\\ \end{pmatrix}$

der zweite Term der vorherigen Gleichung. Wenn wir das Hookesche Gesetz darauf anwenden (das sich auf Stress bezieht $\sigma$ und belasten $\varepsilon$ linear)

S = 2 μ (ϵ - \frac{1}{3} T R (ε))

${{S}} = 2\mu\left({{\epsilon} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\varepsilon)}\right)$

Mit der Einstein-Notation

S^{ich J} = 2 μ [ϵ^{ich J} - \frac{1}{3} δ^{ich J} ϵ^{k}_{k}]

${{S}}^{ij} = 2\mu\left[{{\epsilon}}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}\epsilon^k{}_k\right]$

Wo $\epsilon$ ist der sogenannte Dehnungstensor.

Schließlich können wir die Jaumann-Ableitung berechnen, um das zu bekommen, was wir wollten.

Sie haben Recht, dass ich die Jaumann-Ableitung zunächst mit der Zeitableitung verwechselt habe. Können Sie erklären, warum: $\overset{\circ}{S^{ich J}} = 2 μ [{\dot{ϵ}}^{ich J} - \frac{1}{3} δ^{ich J} {\dot{ϵ}}^{ich J}]$ $\overset{\circ}{{S^{ij}}} = 2\mu\left[{\dot{\epsilon}}^{ij} - \frac{1}{3}\delta^{ij}{\dot{\epsilon}}^{ij}\right]$ Das ist das einzige Stück, das mir fehlt. Ich weiß nicht, warum dies die objektive deviatorische Belastungsrate nach Jaumann ist (im Gegensatz zu einfach der zeitlichen Ableitung der deviatorischen Belastung).

Tyler Olsen · Answer 2

TL;DR Der Ausdruck in der Arbeit ist korrekt. Es ist nur komisch geschrieben.

Sehen Sie sich an, wo das "=" in Ihrer Indexgleichung steht. Sie werden feststellen, dass Ihre $\dot{\mathbf{S}}$ und Ihre Spin-Terme befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten, also sollten Sie damit rechnen, dass es ein wenig doof aussieht. Hier ist die Algebra (in direkter Notation, da ich Indizes hasse):

Lassen $\mathbf{\epsilon}' = \mathbf{\epsilon} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}(\epsilon) \mathbf{1}$

\dot{S} = 2 μ {\dot{ϵ}}^{'} + {S W}^{T} + W S

$\dot{\mathbf{S}} = 2\mu\,\dot\epsilon' + \mathbf{SW}^T + \mathbf{WS}$

\dot{S} - {S W}^{T} - W S = 2 μ {\dot{ϵ}}^{'}

$\dot{\mathbf{S}} - \mathbf{SW}^T - \mathbf{WS} = 2\mu\,\dot\epsilon'$

Erinnere dich daran $\mathbf{W} = -\mathbf{W}^T$ . Wenn Sie das nicht wussten, sollten Sie ein einführendes Lehrbuch zur Kontinuumsmechanik lesen. Warum das so ist, soll geklärt werden.

Somit kann die zweite Zeile umgeschrieben werden als

\dot{S} + S W - W S = 2 μ {\dot{ϵ}}^{'}

$\dot{\mathbf{S}} + \mathbf{SW} - \mathbf{WS} = 2\mu\,\dot\epsilon'$

und Sie erhalten Ihre deviatorische Jaumann-Stressrate zurück.

Danke für die Antwort, bitte weisen Sie darauf hin, wenn ich langsam bin, aber sollte das oben nicht sein: [ $\overset{\bigtriangleup}{{S}} = {\dot{S}} +{S} \cdot {w'} +{w} \cdot {S}$ ] [ $\overset{\bigtriangleup}{{S}} - {S} \cdot {w'} - {w} \cdot {S} = {\dot{S}}$ ] Als $W = -W^T$ : [ $\overset{\bigtriangleup}{{S}} + {S} \cdot {w} - {w} \cdot {S} = {\dot{S}}$ ] Was nicht dasselbe ist wie: [ ${\dot{S}} + {S} \cdot {w} - {w} \cdot {S} = \overset{\bigtriangleup}{{S}}$ ]
Nein. Wenn Sie sich die Indexgleichung aus dem Papier ansehen, werden Sie feststellen, dass dS/dt nur auf der linken Seite steht. Indem Sie die Spin-Terme zurück auf die linke Seite verschieben, erhalten Sie Ihren vollen Jaumann-Kurs auf der linken Seite zurück. Es ist wichtig, das zu erkennen $dS/dt = \dot{S}$ .
Wenn Sie in der Kontinuumsmechanik ein Stoffgesetz als Rate aufschreiben, müssen Sie sicherstellen, dass sich das Stoffgesetz unter einem starren Rahmenwechsel richtig umwandelt. Ich werde hier nicht ins Detail gehen, da dies den Kommentarbereich ein wenig sprengen würde, aber dies führt zu der Anforderung, dass Sie konstitutive Gleichungen als schreiben $objectiveRate = isotropicFunc(variables$ . Diese Anforderung wird als „Material-Frame-Indifferenz“ bezeichnet, wenn Sie nachschlagen möchten.
Vielen Dank für die Kommentare. Ich muss das genauer untersuchen, da ich eindeutig etwas übersehe. Ich dachte, wir suchen nach der objektiven Stressrate ( $\overset{\bigtriangleup}{{S}}$ ) und wir fanden heraus, dass durch eine Kombination der nicht-objektiven Stressrate ( ${\dot{S}} = 2\mu\dot{{\epsilon'}}$ ) und einem Produkt aus Rotationstensor und Spannung. Ich werde upvoten, wenn ich den Repräsentanten habe.
O Entschuldigung für die Verwirrung. $\dot{S}$ ist immer $dS/dt$ . Es ist nur so, dass konstitutive Gesetze in Bezug auf eine objektive Rate geschrieben werden müssen, also kommen die zusätzlichen Terme ins Spiel. Diese Terme tauchen nicht in der Elastizität kleiner Verformungen auf, also haben Sie sie vielleicht noch nie gesehen. Ich empfehle "The Mechanics and Thermodynamics of Continua", wenn Sie nach einem guten Lehrbuch zu diesem Thema suchen. Es hat eine sehr gründliche Behandlung der konstitutiven Theorie und eine gewisse solide Mechanik, da es von Prof. Anand am MIT geschrieben wurde.

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