Warum hängt der Traktionsvektor von der Orientierung der Oberfläche (Abschnitt) ab?

Bevor ich beginne, mein Verständnis zu skizzieren, möchte ich zwei verwandte Fragen zu Physics SE hier und hier verlinken . Lassen Sie mich außerdem meine Hauptquellen für das Erlernen der Kontinuumsmechanik angeben, von denen meine Antwort hauptsächlich inspiriert sein wird:

• Haupt, Kontinuumsmechanik und Materialtheorie, Berlin Heidelberg: Springer, 2000
• Liu, Kontinuumsmechanik, Berlin, Heidelberg: Springer, 2002

Lassen$\mathcal{P}$ein Teil des materiellen Körpers mit Oberfläche sein$\partial\mathcal{P}$. Wir gehen nun davon aus, dass es zwei Arten von Kräften gibt, die auf diesen Körperteil einwirken können. Einerseits gibt es Kräfte, die auf die Masse des Materials wirken ("auf jedes der überzähligen kleinen Teilchen, aus denen der Körper besteht") und die wir durch eine Körperkraftdichte charakterisieren können. Andererseits gibt es Kräfte, die tatsächlich als Kontaktkräfte durch den materiellen Körper und damit für das Körperteil übertragen werden$\mathcal{P}$sie wirken nur auf seiner Oberfläche$\partial\mathcal{P}$. Eine typische Kraft wie diese ist Druck in einer Flüssigkeit. Diese Kraftbeiträge an der Oberfläche sind die Oberflächentraktion$\vec{\mathbf{t}}$. Der Satz von Cauchy besagt, dass es ein Tensorfeld gibt, den Cauchy-Spannungstensor$\mathbf{T}$, was für eine Fläche mit Flächennormale gilt$\vec{\mathbf{n}}$gibt die Traktion auf dieser Oberfläche an diesem Punkt an$\mathbf{T}\vec{\mathbf{n}}$. Wichtig hierbei ist, dass der Traktionsvektor definitionsgemäß von der gewählten Oberfläche abhängt, da er den Kraftbeitrag auf ein von dieser gewählten Oberfläche umschlossenes Körperteil darstellt. Wenn wir eine andere Oberfläche wählen, erhalten wir auch eine physikalisch andere Kraft, weil es die Kraft auf einen anderen Körperteil ist.

Ich werde Ihnen sagen, was passieren würde, wenn der Traktionsvektor nicht von der Ausrichtung des Oberflächenelements abhängen würde. Nehmen wir einen einfachen Fall: ein stehendes Gewässer ohne Schwerkraft. Da das Wasser ruht, wirken keine Scherkräfte auf oder in ihm. Das bedeutet, dass der Traktionsvektor senkrecht zu jedem gegebenen Oberflächenelement sein muss. Dies allein zeigt einen Fall, in dem der Traktionsvektor von der Orientierung des Oberflächenelements abhängt.

Aber gehen wir noch einen Schritt weiter und betrachten wir ein unendlich kleines Kubikvolumen Wasser, das sich im Gleichgewicht befinden muss. Wenn alle Traktionsvektoren unabhängig von der Ausrichtung des Oberflächenelements in dieselbe Richtung zeigen würden, würden sich die Kräfte auf allen sechs Seiten des Würfels zu einer resultierenden Kraft auf das Fluidelement addieren, und es könnte daher nicht im Gleichgewicht sein. Dieses Argument kann auf jedes Material im Gleichgewicht verallgemeinert werden. Daher muss der Traktionsvektor im Allgemeinen von der Orientierung des Flächenelements abhängen.

Es ist eine gute Frage. Ein Beispiel für eine intuitive Idee ist eine einachsige Zugbelastung eines Stabes in der$x$Richtung. Der Spannungstensor hat nur eine Komponente ungleich Null:$\sigma_{xx}$.

Multipliziert man die Tensormatrix mit der Richtung (1,0,0) ergibt sich genau die Zugspannung$\sigma_{xx}$.

Wenn die Oberfläche eine andere Ausrichtung hat:

$n = (sin(\theta)cos(\phi),sin(\theta)sin(\phi),cos(\theta))$, Das Ergebnis ist$sin(\theta)cos(\phi)\sigma_{xx} < \sigma_{xx}$.

Die Bedeutung ist, dass, wenn wir einen Stab mit einer schwächeren Ebene für eine gewisse Orientierung konstruieren, um einen vorzeitigen und kontrollierten Bruch herbeizuführen, die minimal notwendige Belastung einem Querschnitt entspricht. Jede andere Ausrichtung hat eine größere Fläche und führt zu einer geringeren Traktion bei gleicher Last, die nicht ausreicht, um die Stange zu brechen.