Warum werden Spannungen von Kontinuumssystemen durch einen Tensor beschrieben?

Anwenden einer Kraft in der$x$-Richtung kann die Form des Materials in der ändern$y$-Richtung. Die einzige Möglichkeit, einen solchen Effekt zu erfassen, führt über einen Tensor.

Wenn eine allgemeine Kraft auf Ihren Körper wirkt

$$\vec F = (F_x, F_y, F_z)^T$$ und Sie interessieren sich für die Reaktion des Körpers, indem Sie seine Verformung betrachten $$\vec \epsilon = (\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z)^T$$ die Verformung in x-Richtung $\epsilon_x$sollte (in der Hook-Grenze) linear von den Kräften abhängen, ebenso für die $\epsilon_y$Und $\epsilon_z$, dh $$\epsilon_x = E_{xx} F_x + E_{xy} F_y + E_{xz} F_z$$ und ähnlich $$\epsilon_y = E_{yx} F_x + E_{yy} F_y + E_{yz} F_z$$ $$\epsilon_z = E_{zx} F_x + E_{zy} F_y + E_{zz} F_z.$$

Diese drei Gleichungen können durch eine Vektorgleichung erfasst werden

$$\vec \epsilon = \tilde E \vec F$$ oder in Komponenten $$\epsilon_i = \sum_{k=1}^3 E_{ik} F_k$$

Natürlich kann es den Sonderfall geben, dass alle Elemente außerhalb der Diagonale Null sind, dann erholen Sie sich einfach$\epsilon_x = E_{xx} F_{x}$und ähnliches für$y, z$.

Schließlich, woher wissen wir das$\tilde E$ist ein Tensor und nicht nur eine Menge von Zahlen? Dazu müssen wir Transformationseigenschaften betrachten. Die Kraft ist offensichtlich ein Vektor, dh unter Rotationen (unter Verwendung von Einsteins Konvention)

$$F_i \to R_{ij} F_j \quad \text{or} \quad \vec F \to \mathbf R \vec F$$ Auch $\vec \epsilon$sollte sich wie ein richtiger Vektor verhalten $$\epsilon_i \to R_{ij} \epsilon_j \quad \text{or} \quad \vec \epsilon \to \mathbf R \vec \epsilon$$ . Wenn wir dies in unsere Vektorgleichung einsetzen, finden wir nach der Rotation $$\mathbf R \vec \epsilon = \tilde E'\mathbf R \vec F.$$ Damit die rechte Seite ein Vektor ist, muss sie die Form haben $\mathbf R (\tilde E \vec F)$, was bedeutet, dass unter Drehungen $$\tilde E \to \tilde E' =\mathbf R \tilde E\mathbf R^{-1}$$ das ist genau die definierende Eigenschaft eines Tensors.

(Anmerkung zur Notation, ich habe verwendet$\tilde{}$zur Kennzeichnung von Tensoren und Fettschrift für Rotationsmatrizen).

Es ist ein ziemlich berühmter Satz von Cauchy.

Betrachten Sie einen internen Teil$S$eines durchgehenden Körpers$C$. Auf ihn wirken zwei Arten von Kräften: Kräfte proportional zur Masse, zur Form

$$\int_V \mu(x) \vec{f}(x) d^3x\tag{0}$$ Wo $\vec{f}(x)$ist die Dichte der wirkenden Kraft $x \in V$. Und Kräfte, die durch die Oberfläche wirken $\partial V$, die Grenze von $V$, aufgrund des verbleibenden Teils der kontinuierlichen Körperumgebung $V$. Diese Kräfte haben die Form $$\int_{\partial V} \vec{s}(x, \vec{n}(x)) dS(x)\:,$$ Wo $x \in \partial V$Und $\vec{n}(x)$ist der nach außen gerichtete Einheitsvektor, der normal zu ist $\partial V$bei $x$. Der Vektor $\vec{s}(x,\vec{n})$ist der Stress bei $x$in die Richtung $\vec{n}$. Für eine feste $\vec{n}$, es ist jedoch eine Oberflächenkraftdichte zu bemerken $x$. Eigentlich seit $V$ein beliebiger Teil des kontinuierlichen Körpers ist $C$, $x\in C$ist ein generischer Punkt und $\vec{n} \in \mathbb S^2$eine generische Richtung.

Der oben erwähnte Satz nach Cauchy stellt dies unter geeigneten (sehr milden) physikalischen und mathematischen Hypothesen auf$C$, gibt es ein symmetrisches (kartesisches) Tensorfeld$C \ni x \mapsto \sigma_{ij}(x)$so dass, für jeden$x\in C$Und$\vec{n} \in \mathbb S^2$,

$$s_i(x, \vec{n}) = \sum_{j=1}^3\sigma_{ij}(x) n_j\:.\tag{1}$$ $\sigma$heißt Spannungstensor (Feld) des kontinuierlichen Körpers.

Die besagten physikalischen Hypothesen sind nur, dass auf jeden Teil des kontinuierlichen Körpers nur die beiden Arten von Kräften wirken und dass die üblichen Newtonschen Gesetze der Mechanik für jeden Teil des Körpers gelten. Mathematische Hypothesen betreffen stattdessen einfach die Regelmäßigkeit der beteiligten Funktionen.

Es ist wichtig zu betonen, dass das Ergebnis für jede Art von kontinuierlichen Körpern gültig ist, nicht unbedingt elastisch oder plastisch oder flüssig. In den ersten Fällen jedoch$\sigma$ist eine Funktion der Deformation des Körpers.

NACHTRAG . Der Beweis des Satzes von Cauchy ist recht einfach. Man schreibt "F=ma" für eine Folge von Portionen auf$V_n \subset C$der kontinuierlichen Körperpflege, z$n\to +\infty$, zu einem festen gemeinsamen Punkt$x\in \cap_n\partial V_n$unter Beibehaltung der Richtung$\vec{n}$bei$x$. Im betrachteten Grenzfall verschwinden die Massenkraft wie in (0) sowie die Beschleunigung schneller als die Oberflächenkräfte. Daher müssen die Oberflächenkräfte verschwindende Resultierende haben. Wie man sieht, ist diese letzte Tatsache mathematisch äquivalent zu sagen, dass die Funktion

$$\vec{n} \mapsto \vec{s}(x,\vec{n}) \tag{2}$$ um Linearität auf generische Vektoren erweitert $\vec{n}$(also auch mit $|\vec{n}|\neq 1$) ist linear .

Ein bekannter Satz beweist, dass jede lineare Abbildung durch einen Tensor beschrieben wird . Also gibt es einen Tensor$\sigma(x)$Beschreibung von (2) wie in (1). Symmetrie von$\sigma$kann anschließend (leicht) aus dem dritten Hauptsatz der Newtonschen Dynamik bewiesen werden.

Nehmen Sie ein flaches, rechteckiges Material. Bleiben Sie 2D, können Sie Kräfte an den Kanten auf unterschiedliche Weise anwenden. Sie können ausüben:

• eine "quetschende" Kraft entlang vertikaler Kanten, das wird die sein$xx$Bestandteil des Tensors,

• eine "quetschende" Kraft entlang horizontaler Kanten, das wird der sein$yy$Bestandteil des Tensors,

• eine Scherkraft entlang der vertikalen Kanten, das wird die sein$xy$Bestandteil des Tensors,

• eine Scherkraft entlang der vertikalen Kanten, das wird die sein$yx$Bestandteil des Tensors.

In 3D Richtungspaare nach innen${x,y,z}$Geben Sie neun Komponenten an. So können Sie sehen, warum Sie brauchen$d^2$Komponenten, um die Spannung an jedem Punkt zu beschreiben.

Spannung muss ein Tensor sein, weil sie den Impulsfluss beschreibt.

Denken Sie an das Analogon des Stroms$j_i$und Masse durch eine Dichte gegeben$\rho$. Die Komponente$j_i$gibt die Komponente des Massenstroms in der an$i$te Richtung. Um die Analogie zu vervollständigen, erwähnen wir die Kontinuitätsgleichung$\frac{d\rho}{dt} = - \partial_i j_i$.

Lassen Sie uns jetzt über Momentum nachdenken. Wie Masse wird es konserviert, kann sich aber von einem Ort zum anderen bewegen. Dort können wir eine Impulsdichte definieren, die ich nur nennen werde$p_i$und ein Impulsstrom. Nun hat dieser Impulsstrom zwei Indizes: Der erste gibt an, welche Impulskomponente (weil jede Komponente einzeln erhalten bleibt) und der andere, welche Komponente des Stroms angegeben ist. Der zweite Index ist also analog zum einfachen Index des Stroms, den wir im Fall der Masse hatten. Der Impulsstrom ist bezeichnet$\sigma_{ij}$. Um die Analogie fortzusetzen, würden wir eine Kontinuitätsgleichung erwarten$\frac{dp_i}{dt} = -\partial_j \sigma_{ij}$. Tatsächlich ist die Kontinuitätsgleichung aufgrund einer Vorzeichenkonvention$\frac{dp_i}{dt} = \partial_j \sigma_{ij}$, aber es ist genau die gleiche Idee.