Warum ist in der Kontinuumsmechanik der Spannungsvektor T=σ⋅nT=σ⋅nT=\sigma\cdot n kein Kovektor?

Wenn Menschen Kontinuumsmechanik studieren, tun sie dies normalerweise zuerst in$\mathbb{R}^3$wobei wir normalerweise den üblichen metrischen Tensor impliziert haben$(g_{ij}) = \operatorname{diag}(1,1,1)$und die damit verbundene Levi-Civita-Verbindung. In diesem Fall sind Vektoren und Covektoren äquivalent: Der metrische Tensor induziert den musikalischen Isomorphismus und ermöglicht die Konvertierung zwischen Vektorfeldern und Einsformen durch Erhöhen und Erniedrigen von Indizes.

Also wenn$M$ist Ihr Raum und$(x,U)$ein Koordinatensystem, ggf$X$ist ein Vektorfeld, das auf$U$kann in Koordinaten geschrieben werden als

Dann$g$ermöglicht es Ihnen, das Ein-Form-Äquivalent dazu durch Einstellung zu erstellen$\omega = g(X,\cdot)$, das ist in$U$wir können schreiben

Wo$g_{ij}$sind die Bestandteile von$g$auf dem Koordinatensystem$(x,U)$, also Funktionen, mit denen wir schreiben können$g = g_{ij}dx^i\otimes dx^j$.

Jetzt wird der Spannungstensor, von dem Sie sprechen, normalerweise als eine lineare Karte definiert, die Vektoren in Vektoren umwandelt: Sie ist in der Lage, eine Normale zu nehmen und eine Kraft zurückzugeben. Jetzt lineare Abbildungen auf einem Vektorraum$V$kann mit dem Tensorprodukt identifiziert werden$V\otimes V^{\ast}$und so lineare Abbildungen und Tensoren des Typs$(1,1)$sind gleich.

In dieser Situation ist es am besten, über den Spannungstensor so nachzudenken$(1,1)$Tensor$\sigma$was an$(x,U)$kann geschrieben werden

Genauso wie ein solcher Tensor Vektoren auf Vektoren abbilden kann, kann er Covektoren auf Covektoren abbilden. Auf diese Weise, wenn Sie Kraft als Covektor betrachten,$\sigma$kann es abbilden. Da Sie nun einen metrischen Tensor haben, können diese Operationen alle mit dem musikalischen Isomorphismus "abgeglichen" werden. Vor allem wann$g$ist der übliche metrische Tensor von$\mathbb{R}^3$man sieht überhaupt keinen unterschied.