Warum sind total antisymmetrische Tensoren nützlicher als total symmetrische Tensoren?

In beliebig vielen Dimensionen kann man natürlich zwei Tensoren definieren, das Kronecker-Delta und den Levi-Civita-Epsilon-Tensor. Warum ist es jedoch nicht vorteilhaft, auch einen vollständig symmetrischen Tensor zu definieren? Gibt es dafür einen intuitiven Grund oder hängt es im Grunde mit Differenzialformen zusammen?

Was erwarten Sie von einem „total symmetrischen Tensor“, der kein Attribut eines einfachen alten symmetrischen Tensors wäre? Wie user41431 sagt, scheint das Kronecker-Delta sowieso das zu sein, was Sie wollen.
Kronecker-Delta und Levi-Civita "Epsilon-Tensor" sind keine invarianten Tensoren, ich meine, dass sie verschiedene Komponenten als Basis verwenden. Oder ziehen Sie vielleicht kartesische Tensoren in Betracht? Dh nur orthogonale Transformationen zwischen Basen sind erlaubt...

Antworten (2)

Das Kronecker-Delta und die Levi-Civita-Tensoren sind sehr unterschiedliche Arten von Tensoren.

Das Kronecker-Delta ist abstrakt eine lineare Karte: die Identitätskarte. Das ist alles, was es ist und alles, was es sein kann.

Die Levi-Civita kann jedoch geometrisch interpretiert werden : als orientierter volumetrischer Unterraum (oder vierbändig oder was-hast-du).

Was meine ich mit "orientiert"? Denken Sie an die Rechte-Hand-Regel in 3D. Wir sagen, dass ein rechtshändiges Koordinatensystem irgendwie anders orientiert ist als ein linkshändiges. Tatsächlich hat die Wahl der Orientierung nichts mit der Anordnung der Achsen zu tun – Sie könnten sogar mit rechtshändigen Achsen eine "linkshändige" Orientierung verwenden. Dies spiegelt lediglich eine willkürliche Wahl wider, die über die übliche Struktur des Vektorraums hinausgeht.

Ein einfacheres Beispiel wäre ein Blatt Papier, ein flaches Flugzeug. Zeichne eine Spirale auf das Blatt Papier. Sie können das Papier umdrehen, und die Spirale verläuft jetzt in die entgegengesetzte Richtung, auch wenn sich die Gesamtebene möglicherweise nicht ändert. Dies sind zwei unterschiedliche Orientierungen desselben planaren Unterraums.

Ein allgemeiner Begriff für Tensoren, die Unterräume darstellen, ist eine Klinge . Vektoren sind Klingen: Jeder Vektor ist einem linienartigen Unterraum zugeordnet. Zwei nicht parallele Vektoren können ein 2-Blatt definieren, das einen ebenen Unterraum darstellt. Diese Vektoren definieren eine Orientierung durch ihre Reihenfolge, und das Vertauschen der Vektoren kehrt die Orientierung um oder negiert sie . Hier kommt die Natur der Klingen als antisymmetrische Tensoren ins Spiel.

Es ist wichtig zu beachten, dass lineare Kombinationen von 2-Klingen, Bivektoren genannt , wichtige geometrische Objekte in der Relativitätstheorie sind. Diese Kombinationen können nicht länger als Repräsentanten von Unterräumen betrachtet werden – zum Beispiel, wie würden Sie die sehen X j -Flugzeug und die T z -Ebene als Unterraum zusammengefügt? -, aber sie sind dennoch von großer physikalischer Bedeutung. Der EM-Tensor ist ein Bivektor. Der Riemann-Tensor ist eine lineare Abbildung von Bivektoren zu Bivektoren (diese Bivektoren werden oft in Plades zerlegt, um über die Ebenen zu sprechen, in denen kovariante Ableitungen berücksichtigt werden , ob sie pendeln oder nicht und in welchen Ebenen sie verzerrt oder verändert werden Zu).

Die höchsten dimensionalen Klingen in einem Raum werden oft als Pseudoskalare bezeichnet . Sie haben vielleicht gehört, dass das magnetische Skalarpotential in Wirklichkeit ein Pseudoskalar ist. Die Levi-Civita ist wirklich ein Pseudoskalar. Die Aktion einer linearen Karte kann charakterisiert werden, indem ihr stattdessen ein Pseudoskalar zugeführt wird; geometrisch wird dies als der Betrag interpretiert, um den ein Volumen gedehnt oder geschrumpft wird. Das Volumen kann auch die Ausrichtung ändern (Vorzeichen ändern). Dies ist die Determinante einer linearen Abbildung. Cool was?

k -Klingen u k -Vektoren sind sehr wichtige Arten von Tensoren, die man verstehen muss. Sie sind antisymmetrisch, um die Idee einzufangen, dass der Austausch von Vektoren die Ausrichtung des zugrunde liegenden geometrischen Objekts ändert. Es gibt keine entsprechenden geometrischen Analoga für symmetrische Tensoren, die über viele Indizes symmetrisch sind. Der größte Teil der Geometrie ist mit Klingen und Multivektoren bedeckt.

Nun, wenn Sie das Kronecker-Delta als symmetrischen Tensor betrachten , ist es nicht die Identität, da es kontravariante Vektoren in kovariante umwandelt.
@V.Moretti Wenn beide Indizes unten sind, ja. Aber wenn es eine Metrik gibt, müssen wir Vektoren und Covektoren nicht unterschiedlich betrachten. Das Konvertieren zwischen kontravarianten und kovarianten Komponenten ändert die geometrische Größe nicht, Sie sehen also, die Metrik selbst spielt die Rolle der Identität.
Mit anderen Worten, Sie sagen das also C δ ich J ist die Metrik in kanonischer Form. Es funktioniert jedoch nicht für Metriken mit unterschiedlichen Signaturen, wie die Minkowski-Metrik.
@V.Moretti Ja, das ist mir bewusst. Mein Punkt ist, dass das Kronecker-Delta oder die Minkowski-Metrik oder die nicht flache allgemeine (Pseudo-)Riemannsche Metrik alle als verschiedene Aspekte desselben Grundkonzepts betrachtet werden sollten: der Identitätskarte. Welche Sie verwenden, hängt natürlich von der Signatur des Raums und den Koordinaten usw. ab, aber ich denke, dass sie alle durch diesen Begriff konzeptionell miteinander verbunden sind.

Ist das Kronecker-Delta nicht symmetrisch? Mal sehen:

δ ich J = 1 Wenn ich = J , δ ich J = 0
ansonsten. Ich bin mir ziemlich sicher, dass das symmetrisch ist. Das Levi-Cevita-Symbol ist jedoch tatsächlich antisymmetrisch.

Warum sind total antisymmetrische Tensoren nützlicher als total symmetrische Tensoren?
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