Gibt es eine Physik hinter Kovarianz und Kontravarianz von Indizes von Tensoren?

In gewisser Weise nein. Es ist einfach geometrischer Natur. Die gesamte (pesudo-)riemannsche Geometrie ist reine Mathematik. Sie können die Ricci-, Riemann- und Einstein-Tensoren vollständig durch Mathematik konstruieren, die die Krümmung beschreibt. In diesem Sinne ist ein Beispiel für eine physikalische Aussage gemacht$G_{ab} = 8\pi T_{ab}$, wobei der Einstein-Tensor mit dem Spannungs-Energie-Tensor gleichgesetzt wird. Es ist eine Gleichung, die nicht vollständig durch mathematisches Symbol-Pushing erreicht werden kann; es erfordert experimentelle Beweise, um es zu rechtfertigen.

Auf der anderen Seite könnte man jetzt argumentieren, dass wir Experimente durchführen müssten, um festzustellen, in was für einer geometrischen Welt wir leben. Das stimmt, aber für mich existieren die Konzepte der Kontravarianz und Kovarianz unabhängig davon, ob sie im Physischen vorhanden sind Welt. Es ist eine physikalische Aussage, dass sich physikalische Größen gemäß diesen Gesetzen verändern – was Teil einer umfassenderen Aussage ist, dass wir in einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit leben und dass dieser geometrische Rahmen auf unsere Welt anwendbar ist .

Eine Koordinate wie$V^\mu$eine Koordinate eines Vektors ist, ist ein Vektor ein Element des Tangentenbündels.

Eine Koordination wie$F_\mu$ist eine Koordinate von a$1$-Form, a$1$-Form ist ein Element des Kotangentialbündels.

Das Co-Tangenten-Bündel könnte also als "Dual" des Tangenten-Bündels angesehen werden$<f^\mu,v_\nu> = \delta^\mu_\nu$, Wo$f$ist eine Grundlage für$1-$Formular und$v$ist eine Basis für Vektoren.

Nun, lokal, die Metriken$g_{\mu\nu}$Stellen Sie eine Entsprechung zwischen dem Tangentialbündel und dem Cotangentialbündel her:$A_\mu = g_{\mu\nu} A^\nu$

Das bedeutet zum Beispiel, dass der "Potenzialvektor"$A_\mu$ist keine Koordinate eines Vektors, sondern eine Koordinate von a$1$-form$A = A_\mu dx^\mu$, während Sie lokal dank der Metriken einen äquivalenten Vektor finden könnten, aber es funktioniert nur lokal.

Kovariante und kontravariante Schreibweisen helfen uns also, die Struktur physikalischer Größen richtig zu verstehen.